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Summenformel erstellen

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Tags: Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Induktion, Summenformel, Vollständig Induktion

Rebelly aktiv_icon

11:39 Uhr, 05.05.2014

Hallo,

ich belege Analysis 1 und die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach

n :

(i)

3^{2^{n}} - 1

ist durch

2^{n}

teilbar für alle

n \in ℕ

.

(Hinweis: Schreiben Sie die Behauptung zunächst unter geeigneter Verwendung des Summenzeichens auf.)

Wie ich eine vollständige Induktion durchführe ist mir klar, mein Problem ist das Summenzeichen. Aufgrund fehlender Zeit habe ich das Thema nur extrem kurz in der Schule durchgenommen.

Ich habe mir nun auch schon mehrere Beiträge zu dem Thema hier im Forum durchgelesen, wurde allerdings nicht schlau daraus, auch meine google-Suche hat mich leider nicht weitergebracht.

Die einfachste Lösung wäre es ja:

\sum_{k = 1}^{n} = 3^{2^{n}} - 1

aber das erscheint mir nicht so ganz logisch (wie eigentlich alles zum Thema Summen.. )

Bitte hilft mir!
Ich würde gerne mit jemandem zusammen auf die Lösung kommen und nicht einfach etwas abschreiben, da ich es ansonsten ja nicht verstehe. Außerdem habe ich noch mehrerer dieser Aufgaben zu lösen und würde das dann gerne alleine schaffen :-)

Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

11:54 Uhr, 05.05.2014

Wenn Du

\sum

schreibst, musst Du auch Summanden schreiben, sonst ist der Ausdruck sinnlos. Außerdem brauchst Du hier keine Summen.

Deine Aufgabe, ich schreibe es in Kurzform.
Induktionsanfang:

3^{2^{0}} - 1 = 3 - 1 = 2

ist durch

2^{0} = 1

natürlich teilbar.
Induktionssschritt:
angenommen,

2^{n}

teilt

3^{2^{n}} - 1

.
Dann

3^{2^{n + 1}} - 1 = 3^{2^{n} \cdot 2} - 1 = (3^{2^{n}})^{2} - 1 = (3^{2^{n}} - 1) (3^{2^{n}} + 1)

3^{2^{n}} + 1

ist gerade als eine Summe von zwei ungeraden Zahlen, also durch

2

teilbar,

3^{2^{n}} - 1

ist nach Annahme durch

2^{n}

teilbar

= > 3^{2^{n + 1}} - 1 = (3^{2^{n}} - 1) (3^{2^{n}} + 1)

durch

2^{n} \cdot 2 = 2^{n + 1}

teilbar.

Rebelly aktiv_icon

20:28 Uhr, 05.05.2014

Vielen Dank für die Antwort!

ich habe den Hinweis mißverständlicherweise für alle Aufgabenteile verstanden, er ist allerdings nur für den letzten Aufgabenteil.

Trotzdem Vielen Dank für die Hilfe! :-)

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