Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Summenformel herausfinden

Summenformel herausfinden

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Summenformel

matheo5 aktiv_icon

00:00 Uhr, 16.06.2015

Hallo!

wie berechne ich die Summenformel im allgemeinen

ein Bsp.:

1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n}

ich kenne das Ergebnis, aber würde nicht selber drauf kommen.

hat jemand tipps für die überlegung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

00:15 Uhr, 16.06.2015

Überlegungen sind eigentlich immer dieselben:

1. uerst probiere es mit "genauem hingucken"... sprich ob du das so hinkriegst.

2. wenn das nicht klappt, nimm diejenigen werkzeuge her, die dir in der vorlesung mitgegeben wurden... sprich spicke bei den leuten, die berühmt für ihre mathematischen fähigkeiten geworden sind. diese leute haben sich die arithmetische, geometrische, harmonische reihe ausgedacht und eben noch mehr was du so in der uni vorgesetzt bekommen hast.

3. wenn dir die formeln aus 2. nicht direkt helfen, dann vielleicht indirekt. sprich versuche deine aufgabe so umzuformen, dass du die formeln aus 2. nutzen kannst oder eine kombination aus den formeln in verbindung mit eigenem "genauen schlauen hingucken"

hilft das?

DerDepp aktiv_icon

00:26 Uhr, 16.06.2015

Aloha :-)

Die zu bestimmende Summe ist von der Form:

S_{n} = 1 + q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n}

Wenn du beide Seiten dieser Gleichung mit

q

multiplizierst, erhälst du:

q S_{n} = q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n + 1}

Jetzt kommt der Trick, indem du diese Gleichung von der ersten subtrahierst:

S_{n} - q S_{n} = (1 + q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n}) - (q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n + 1})

Auf der linken Seite kannst du

S_{n}

ausklammern. Auf der rechten Seite heben sich fast alle Summanden gegenseitig weg. Aus der ersten Klammer bleibt nur die

1

, aus der letzen Klammer nur

q^{n + 1}

S_{n} (1 - q) = 1 - q^{n + 1}

Falls

q \neq 1

kannst du auf beiden Seiten durch

(1 - q)

dividieren:

S_{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}; q \neq 1

und erhälst so die sehr wichtige Summenformel der "geometrischen Reihe":

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + q}}{1 - q}; q \neq 1

matheo5 aktiv_icon

00:36 Uhr, 16.06.2015

Hallo!

wow , vielen dank für die ausführliche antwort! (dein nick passt nicht;-)

das ist total plausibel, ich versuch das gleich bei anderen beispielen hinzubekommen.

vielen dank !

(

in der letzten zeile hast dich wahrsch. verschrieben

n + 1

als exponent. ;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1241377

1241370

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?