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Summenzeichen, Grenze ausklammern?

Schüler

Tags: Gesetz, regeln, Summenzeichen

max55 aktiv_icon

13:00 Uhr, 07.07.2019

Hallo,

in meinem Tutorium habe ich folgende Umformung gefunden:

E [\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i})] = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E [X_{1}] = E [X_{1}]

Kann ich daraus folgern, das man einfach den Endwert bei Summenzeichen ausklammern kann?

z . B . :

E [\sum_{i = 1}^{n} (x_{i})] = n \cdot E [\sum_{i = 1} (x_{i})] = n \cdot E [(x_{i})]

Eine entsprechende Regel konnte ich nicht finden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

13:51 Uhr, 07.07.2019

>

Kann ich daraus folgern, das man einfach den Endwert bei Summenzeichen ausklammern kann?

Nein!
Was soll denn eine Summe ohne Endwert sein?

Du kannst aber natürlich

E [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}] = n \cdot E [\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}] = n \cdot E [X]

schreiben.

pivot aktiv_icon

14:05 Uhr, 07.07.2019

Hallo,

die Umformungen gelten nur wenn

E (X_{i}) = E (X_{j})

für alle

i, j = 1, 2, . . ., n

Prinzipiell gilt, dass der Erwartungswert der Summe von Zufallsvariablen gleich die Summe der Erwartungswerte von Zufallsvariablen ist.

D.h.

E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}] = \sum_{i = 1}^{n} E [X_{i}]

So ist der erste Umformungsschritt. Wenn jetzt alle

X_{i}

gleichen Erwartungswert haben oder noch stärker identisch verteilt sind, dann ist

\sum_{i = 1}^{n} E [X_{i}] = n \cdot E [X_{i}] = n \cdot μ

.

Wenn die Zufallsvariablen nicht den gleichen Erwartungswert besitzen, dann kannst du die Summe nicht so einfach auflösen.

Gruß

pivot

max55 aktiv_icon

16:43 Uhr, 07.07.2019

Dankeschön!

Roman-22

17:07 Uhr, 07.07.2019

>

die Umformungen gelten nur wenn E(Xi)=E(Xj) für alle

i, j = 1,2, ..., n

Ich hatte eher den Eindruck, dass es bei

max 55

um nur eine einzige Zufallsvariable ging, der er eben

X_{1}

nannte und die

x_{i}

(mit

i = 1,2, ..., n)

Werte dieser einen Zufallsvariablen sind.

pivot aktiv_icon

17:44 Uhr, 07.07.2019

Aus einzelnen Werten Erwartungswerte zu bilden finde ich schwierig.

Roman-22

18:43 Uhr, 07.07.2019

>

Aus einzelnen Werten Erwartungswerte zu bilden finde ich schwierig.
:-)
In der Umformung, die

max 55

zitiert hat, wird ja auch eine neue Zufallsvariable aus den arithmetischen Mittelwerten von n-elementigen Mengen von Werten

x_{i}

der Zufallsvariablen

X_{1}

konstruiert. Und die Formel besagt doch nur, dass diese neue Zufallsvariable den gleichen Erwartungswert hat wie

X_{1}

.

In der Frage selbst scheint es aber um etwas viel Elementareres gegangen zu sein, wenn ich mir die Vorstellung, man könne den Endindex bei einer endlichen Summe "vorziehen" ;-)

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