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Summenzeichen; Zahlenreihe als Summe schreiben

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Folgen, Summenzeichen

anonymous

12:30 Uhr, 05.01.2012

Hallo,

ich überleg die ganze Zeit schon, kommt aber einfach nicht auf die Summe als Summenzeichen geschrieben....

Zahlenreihe:

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24}

Von

\frac{1}{3}

an sind die Zähler immer mit 2 multipliziert.

Das

\frac{1}{}

könnte im Summenzeichen stehen. Was steht dann aber im Nenner? Habe schon etliches probiert, komm aber einfach nicht drauf.

Bitte helft mir doch

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

12:35 Uhr, 05.01.2012

\frac{1}{3 \cdot (2^{n})}

dabei kannst du dann den Faktor

\frac{1}{3}

vor die Summe ziehen.

Denn:

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 8} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}})

...so kannst du dan auch ganz einfach die Reihe ableiten...

;-)

anonymous

21:45 Uhr, 05.01.2012

Jetzt wird es klar

=)

Vielen Dank!

BGina aktiv_icon

14:05 Uhr, 11.01.2012

Hallo ihr beiden,
ich habe im Studium gerade auch das Summenzeichen.

Gibt es eine Methode, wie du vorgehst um solche Zahlenreihen zu lösen?

Wir haben eine Menge solcher Zahlenreihen bekommen, aber ich finde fast nie den richtigen Ansatz. Gibt es dazu einen Tipp?

Vielen Dank

Edddi aktiv_icon

15:30 Uhr, 11.01.2012

...du musst eine Regel für die einzelnen Folgeglieder erkennen, damit du sie durch einen fortlaufenden Parameter beschreiben kannst.

Bsp.

1,5 + 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5 + . .

= (1 + 0,5) + (2 + 0,5) + (3 + 0,5) + (4 + 0,5) + (5 + 0,5) + (6 + 0,5) + . .

.

...für

n

Glieder ergäbe sich dann:

\sum_{i = 1}^{n} i + 0,5 = \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 0,5 = [\frac{n}{2} \cdot (n + 1)] + [n \cdot 0,5]

= [\frac{n}{2} \cdot (n + 1)] + [\frac{n}{2}] = \frac{n}{2} \cdot ((n + 1) + 1) = \frac{n}{2} \cdot (n + 2) = \frac{n^{2}}{2} + n

oder:

- 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - . .

.

auch hier sieht man die fortlaufenden natürlichen Zahlen, jedoch mit Vorzeichenwechsel.

Mann macht also aus

\sum i,

was ja nur

+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + .

. wär

\sum {(- 1)}^{i} \cdot i

oder man stellt etwas um:

- 1 - 3 - 5 - ... + 2 + 4 + 6 + ... = - (1 + 3 + 5 +) ... + 2 + 4 + 6 + . .

1,3,5

sind die fortlaufenden ungeraden Zahlen, daher

z . B

. für die Reihe bis

100 :

= - \sum_{i = 1}^{50} (2 \cdot i + 1) + \sum_{i = 1}^{50} (2 \cdot i)

= - \sum_{i = 1}^{50} (2 \cdot i) - \sum_{i = 1}^{50} (1) + \sum_{i = 1}^{50} (2 \cdot i)

= - \sum_{i = 1}^{50} (1)

= - 50 \cdot 1 = - 50

...so, vielleicht hilft's dir etwas weiter...

;-)

BGina aktiv_icon

17:16 Uhr, 12.01.2012

super, vielen Dank

=)

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