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Summenzeichen ohne obere Grenze

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Tags: Faltung, Summenzeichen, Zufallsvariable

tommy40629 aktiv_icon

13:22 Uhr, 20.01.2015

Hi,

ich habe im Bild, Definmition der Summe von 2 Zufallsvariablen, dieses Summenzeichen:

\sum_{y \in ℝ}

Wie kann ich diese Summe in eine vertraute Schreibweise, wie z.B.

\sum_{y = 0}^{m} . . .

umwandeln?

Wenn das y die ganzen reellen Zahlen durchläuft, dann müsste man ja schreiben:

\sum_{y \in ℝ} = \sum_{y = - \infty}^{\infty}

Dies sieht nun wie eine Laurent-Reihe aus Funktionentheorie aus, ich dachte ich mache Stochastik.

\sum_{y = - \infty}^{\infty} = \sum_{y = - \infty}^{0} + \sum_{y = 0}^{\infty}

Da muss es doch einen Trick geben, wie man eine schöne Summe von 0 oder 1 bis m hinschreiben kann??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:04 Uhr, 20.01.2015

\sum_{y \in ℝ} . .

. gibt es nicht!
Da müsstest Du (analog) schon über

ℝ

integrieren.

In Deiner Definition ist aber von dikreten ZV die Rede.
In der Summe müsste also

y

alle Werte durchlaufen, die die ZV

X

annehmen kann.

tommy40629 aktiv_icon

14:18 Uhr, 20.01.2015

Also mein X ist negativ binomialverteilt.

Die Werte, die X annehmen kann, sind ja Wahrscheinlichkeiten und diese haben Werte von Null bis 1.

Wenn nun y alle Werte im Intervall [0,1] annimmt, dann sind das ja immer noch unendlich viele.

Aber der Startwert wäre ja die Null, y=0.

Und für den Nachfolger der Null gibt es ja in den reellen Zahlen schon unendlich viele Möglichkeiten.

Da muss man Tricks aus Ana 1 benutzen oder??

Matlog aktiv_icon

15:00 Uhr, 20.01.2015

Das ist alles Unsinn!

Nochmal: Man kann weder über

ℝ

summieren noch über ein reelles Intervall!

"Die Werte, die

X

annehmen kann, sind ja Wahrscheinlichkeiten und diese haben Werte von Null bis 1."

Puh, nein!!!
Die Werte, die

X

annehmen kann, sind nichtnegative ganze Zahlen (oder eine Teilmenge davon).
Beispielsweise

X = 5

.
Du verwechselst das mit

P (X = 5)

tommy40629 aktiv_icon

18:43 Uhr, 20.01.2015

Anscheinend verwechsle ich die Notation

P_{X}

mit der Verteilung von X.

So wie es im Bild steht.

Und die Verteilung von X ist ja eine Wahrscheinlichkeit, laut der Definition im Bild.

Bei der Summe von 2 Verteilungen werden aber ja 2 Wahrscheinlichkeiten addiert.

Da kommen als Ergebnisse natürlich andere Werte heraus. Wie wenn man 0,6+0,6=1,2 rechnet.

Aber noch einmal zurück zur Notation.

Das

P_{Y}

und das

P_{X}

bei der Faltungsformel, das sind doch die Verteilungen von X und Y oder??

Matlog aktiv_icon

19:31 Uhr, 20.01.2015

"Anscheinend verwechsle ich die Notation

P_{X}

mit der Verteilung von X."
Das sehe ich nicht so.

P_{X}

IST die Verteilung von X.

"Und die Verteilung von

X

ist ja eine Wahrscheinlichkeit, laut der Definition im Bild."
Na ja, aber nur so ungefähr.

P_{X}

ist eine Abbildung, die jeder Teilmenge von

Ω'

eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Beispiel:

P_{X} ({5}) = P (X = 5) = 0,1; P (X < 10) = 0,6; P (3 \leq X \leq 6) = 0,25; P_{X} ({2; 11}) = P (X \in {2; 11}) = 0,2

usw...

"Bei der Summe von 2 Verteilungen werden aber ja 2 Wahrscheinlichkeiten addiert."
Wie kommst Du darauf? Das halte ich für völligen Quatsch!
Die Faltung gibt gerade die Verteilung von

X + Y

an, wenn

X

und

Y

unabhängig sind.

"Das

P_{Y}

und das

P_{X}

bei der Faltungsformel, das sind doch die Verteilungen von

X

und

Y

oder??
Ja, das ist richtig!

Wenn man in Satz

14.1

die Bezeichnungen aus Definition

6.1

verwendet, dann müsste unter dem Summenzeichen

y \in Ω'

stehen (anstatt

y \in ℝ)

.
Dieses

Ω'

ist bei diskreten ZV oft die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen

(z . B

. bei der Binomialverteilung), zumindest aber eine abzählbare Menge, so dass das Summenzeichen einen Sinn macht.

tommy40629 aktiv_icon

22:47 Uhr, 20.01.2015

Du hast geschrieben:

P_{X} ({5}) = P (X = 5)

P (X = 5)

, diese Bezeichnung kenne ich. Z.b. beim Bernoulliexperiment. Genau 5 Treffer.
Da kann man dann die für P(X=5) die Formel der Zähldiche einsetzen.

analog bei

P (X < 10), P (3 \leq X \leq 6)

, wobei man hier die Summe aus Wahrscheinlichkeiten bildet.

Bei

P_{X} ({2; 11})

würde ich dann die Definition benutzen:

P_{X} ({2; 11}) := P ({ω \in Ω : X (ω) = ω^{ʹ} \in {2; 11}})

hier könnte rauskommen

= P ({5; 6})

Nun muss man schauen, ob dafür eine Wahrscheinlichkeit gegeben ist, oder ob das gleichverteilt ist, oder was auch immer.

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