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Summenzeichen umstellen

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Sonstiges

Tags: Sonstig, Summenzeichen

anonymous

22:03 Uhr, 05.06.2023

Guten Abend,

ich soll folgendes Summenzeichen auf Gleichheit prüfen.
Die linke Seite soll so umgewandelt werden, dass dort dasselbe wie auf der rechten Seite steht.

\sum_{k = 1}^{2 m} λ_{k} v_{k} + \sum_{k = 1}^{m} λ_{k} w_{k} = \sum_{k = 1}^{m} λ_{k} (v_{k} + w_{k}) + \sum_{k = m + 1}^{2 m}

λ_{k} v_{k}

Linke Seite umstellen.

\sum_{k = 1}^{2 m} λ_{k} v_{k} + \sum_{k = 1}^{m} λ_{k} w_{k}

<=>

\sum_{k = 1}^{m} 2 (λ_{k} v_{k}) + \sum_{k = m + 1}^{2 m} λ_{k - m} w_{k - m}

Weiter komme ich an der Stelle erstmal nicht. Mir würde noch einfallen das

λ_{k - m}

vor das Summenzeichen zu ziehen.

Freue mich auf eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

22:41 Uhr, 05.06.2023

Hallo,

Ich würde erst die erste Summe uuf der linken Seite aufspalten:

\sum_{k = 1}^{m} λ_{k} v_{k} + \sum_{k = m + 1}^{2 m} λ_{k} v_{k} + \sum_{k = 1}^{m} λ_{k} w_{k}

Das erste und dritte Summenzeichen kann man in einem Summenzeichen zusammenfassen

Gruß
pivot

anonymous

16:43 Uhr, 06.06.2023

Vielen Dank an euch beide. Sollten noch Fragen aufkommen, melde ich mich. Sonst schließe ich das Thema.

Gruß Wayne

HAL9000

16:59 Uhr, 06.06.2023

Ich würde an deiner Stelle den Dank auf pivot beschränken:

andree23 ist ein KI-Bot, der mit ChatGPT-ähnlichen Mitteln nur versucht, bescheuerte Links unters Volk zu bringen. ;-)

anonymous

17:09 Uhr, 06.06.2023

Danke für die Info. Fand die Latex-Schreibweise vom Bot etwas schwerer zu lesen.

anonymous

17:42 Uhr, 06.06.2023

Ich hab noch den Teil b) der Aufgabe vergessen, die ist so zu lösen wie die Erste (linker Teil soll umgestellt werden, dass der rechte Teil rauskommt):

\sum_{k = 2}^{m + 1} v_{k} + \sum_{k = 1}^{m} - v_{k} = v_{m + 1} - v_{1}

In der ersten Summe würde ich eine Indexverschiebung machen (um eins verringern):

\sum_{k = 1}^{m} v_{k + 1} + \sum_{k = 1}^{m} - v_{k}

Falls das richtig war, wie geht es weiter?

HAL9000

18:28 Uhr, 06.06.2023

Warum machst du eine Indexverschiebung? Die verkompliziert doch nur alles.

Ich würde die beiden Summen um Summanden ergänzen, so dass jeweils

V := \sum_{k = 1}^{m + 1} v_{k}

rauskommt. D.h., es ist dann

\sum_{k = 2}^{m + 1} v_{k} + \sum_{k = 1}^{m} (- v_{k}) = \sum_{k = 2}^{m + 1} v_{k} - \sum_{k = 1}^{m} v_{k} = [V - v_{1}] - [V - v_{m + 1}] = v_{m + 1} - v_{1}

anonymous

19:08 Uhr, 06.06.2023

Danke für die Antwort, aber ich verstehe ab dem zweiten Gleichzeichen nicht was passiert. Was bedeutet die Schreibweise in eckigen Klammern?

HAL9000

20:26 Uhr, 06.06.2023

Das sind einfache Klammern - sowas kennst du doch! Von mir aus schreib sie als runde Klammern, wenn du dich da wohler fühlst.

Ich wollte damit nur verdeutlichen, dass die erste Klammer [] der ersten Summe, und die zweite Klammer [] der zweiten Summe entspricht.

anonymous

23:29 Uhr, 06.06.2023

Ok.
Auf die Lösung wäre ich selbst nicht gekommen.

HAL9000

07:09 Uhr, 07.06.2023

Man hätte auch umgekehrt die gemeinsamen Summenbestandteile abspalten können, d.h.,

\sum_{k = 2}^{m + 1} v_{k} = (\sum_{k = 2}^{m} v_{k}) + v_{m + 1}

\sum_{k = 1}^{m} v_{k} = v_{1} + (\sum_{k = 2}^{m} v_{k})

Ich hab mich letztlich gegen diese Variante entschieden, weil bei der im Fall

m = 1

auf der rechten Seite "leere" Summen (d.h. mit Summandenanzahl Null) entstehen. Die sind zwar eigentlich auch kein Problem, aber doch etwas schwieriger zu vermitteln für Leute, die sowas noch nie gesehen haben. ;-)

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