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Superposition bei inhomogenen DGLs

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen, Superposition

nixblix aktiv_icon

15:46 Uhr, 21.09.2009

Hallo,

ich hoffe, ich bin hier richtig. Immer wieder lese ich, dass die Lösungen der Maxwell-Gleichungen im Vakuum (System homogener DGLs) superpositioniert werden können.
Kann mir jemand (mathematisch) erklären, warum dies bei den inhomogenen Gleichungen

(z . B

. wenn die Stromdichte

j

nicht 0 ist) nicht mehr erlaubt ist?

schon mal Danke im voraus für jeden Hinweis!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

19:29 Uhr, 21.09.2009

Hi,

ich weiß nicht genau, was die Maxwell-Gleichungen sind, ich würde jetzt mal vermuten so etwas wie Wellengleichungen. Aber prinzipiell kann man das mit der Superposition auch an einem anderen Beispiel erklären. Nimm z.B. eine lineare homogene DGL 1. Ordnung:

a (x) \cdot y ʹ + b (x) \cdot y = 0

und seien

y_{1}, y_{2}

irgendwelche Lösungen. Dann besagt die Superposition, dass

y_{3} = s \cdot y_{1} + t \cdot y_{2}

auch wieder eine Lösung ist:

a (x) \cdot y_{3} ʹ + b (x) \cdot y_{3} = a (x) \cdot (s \cdot y_{1} + t \cdot y_{2}) ʹ + b (x) \cdot (s \cdot y_{1} + t \cdot y_{2})

= a (x) \cdot s \cdot y_{1} ʹ + a (x) \cdot t \cdot y_{2} ʹ + b (x) \cdot s \cdot y_{1} (x) + b (x) \cdot t \cdot y_{2} (x)

= s \cdot (a (x) \cdot y_{1} ʹ + b (x) \cdot y_{1}) + t \cdot (a (x) \cdot y_{2} ʹ + b (x) \cdot y_{2}) = s \cdot 0 + t \cdot 0 = 0

(wahre Aussage)

Nun machen wir das ganze mit einer inhomogenen linearen DGL:

a (x) \cdot y ʹ + b (x) \cdot y = c (x) \neq 0

Nehmen wir also an,

y_{1}

wäre eine Lösung (ich machs mir jetzt mal einfach:-), wenn das Superpositionsprinzip gelten würde, dann wäre

2 y_{1}

ebenfalls eine Lösung. Es gilt:

y_{1} = y_{h} + y_{p}

, wobei

y_{h}

die homogene und

y_{p}

die partikuläre Lösung ist. Dann ist

a (x) \cdot 2 y_{1} ʹ + b (x) \cdot 2 y_{1} = a (x) \cdot (2 y_{h} + 2 y_{p}) ʹ + b (x) \cdot (2 y_{h} + 2 y_{p})

= 2 \cdot a (x) \cdot y_{h} ʹ + 2 \cdot a (x) \cdot y_{p} ʹ + 2 \cdot b (x) \cdot y_{h} + 2 \cdot b (x) \cdot y_{p} = 2 (a (x) \cdot y_{h} ʹ + b (x) \cdot y_{h}) + 2 (a (x) \cdot y_{p} ʹ + b (x) \cdot y_{p})

= 2 \cdot 0 + 2 \cdot c (x) = 2 \cdot c (x) \neq c (x)

Also gilt im allgemeinen das Superpositionsprinzip bei inhomogenen DGLs nicht (egal ob gewöhnlich oder partiell). Wenn die Maxwell-Gleichung so etwas wie eine Wellengleichung ist (gelöst über Separationsansatz?), dann hast du aber anstatt ein oder zwei Lösungen wahrscheinlich unendlich viele raus. Das ändert aber im Prinzip nichts.

Lieben Gruß
Sina

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