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Supremum / Infimum
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 14:52 Uhr, 09.12.2006  |
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Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe,blick sie nämlich nicht wirklich! Bestimme Für A das Supremum und das Infimum und entscheide ob es sich um Maximum bzw. Minimum handelt (ob die Zahlen also durch ein Element der Menge realisiert werden) |
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obere Schranken betrachten Ein Supremum ist (erstens) eine obere Schranke mit (zweitens) der besonderen Eigenschaft, daß es unter allen die kleinste ist. Da der Zähler in dem Term von A immer um 1 kleiner als der Nenner ist, wage ich die Behauptung: x² / (1+ x²) < 1 . Anschaulich ist die const. Funktion 1 Asymptote bzgl. A, d.h. Werte aus A schmiegen sich in der Ferne an diese 1 an. Natürlich muss man auch die ´nahen´ Werte von A berücksichtigen, daher... Beweis: x² / (1+ x²) < 1 <=> x² < 1+x² <=> 0 < 1 für alle x € R (q.e.d) Bislang ist S := 1 nur eine obere Schranke. Nimmt man an, es gibt eine kleinere, etwa S´ < 1 - e mit einem (kleinen 1 > e > 0), dann ist... x² / (1+ x²) < S´= 1-e <=> ... <=> x² < (1-e)/e ... und auf der re.Seite steht etwas positives, dass für geeignete x² unterboten werden kann. - Die Annahme war also falsch, S=1 ist die kleinste, obere Schranke. Damit ist 1 = sup(A) ,aber es gibt kein x € R ,wo x² / (1+ x²) = 1 ,wie man an der obigen Ungleich.Kette erkennt, dh. max(A) existiert nicht. untere Schranken betrachten Zähler und Nenner sind >= 0, daher ist es auch der Quotient: x² / (1+ x²) >= 0. Damit ist U=0 eine untere Schranke und man erkennt, dass diese für x=0 angenommen wird, kurz: U € A oder besser U <= a für alle a € A, womit U Kandidat für ein Minimum wäre. - Überlege noch, warum es kein grösseres U´ als U geben kann, womit U=0 Minimum wäre, formal: inf(A) = min(A) = 0... Man könnte natürlich mit der Stetigkeit der darstellenden Funktion f(x)=x²/(1+ x²) auf einem kompakten Intervall [-1;+1] und dem Zwischenwertsatz argumentieren. Machen wir es jedoch elementarer: Nehme (wie oben) an, es gäbe eine grössere untere Schranke e<1 als U=0, dh. insbesondere 0 < e < 1 wäre untere Schranke, dann: x²/(1+ x²) >= e <=> ... <=> x² >= e/(1-e) für sehr viele x € R , womit e die Eigenschaft ´untere Schranke´ verliert. Konsequenz: U= 0 war grösste, untere und wird angenommen, kurz: inf(A)=min(A)=0 (q.e.d) -Steele- _____________________ >= ........bedeutet... ´grösser oder =´ (q.e.d) ...bedeutet... `was zu zeigen war` |
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anonymous 23:12 Uhr, 10.12.2006 |
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Diese Zeile versteh ich nicht ganz. dann ist... x² / (1+ x²) < S´= 1-e <=> ... <=> x² < (1-e)/e ... und Wie komme ich auf x² < (1-e)/e Kannst du mir grad schnell den Zwischenschritt aufschreiben,denk schon dass ich es dann verstehe! Danke |
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Zitat Carlo: Diese Zeile versteh ich nicht ganz... x² / (1+ x²) < S´= 1-e <=> ... <=> x² < (1-e)/e Erklärung: ...es betraf die obere Schranke bei der Vermutung auf kleinere... x²/(1+x²) < 1-e ... | Nenner (1+x²) auf die andere Seite <=> x² < (1-e)(1+x²) ...| ausmult. <=> x² < 1*(1-e) + (1-e)x² ... | wir wollen x² auf einer Seite UND e-Terme rechts <=> x² - (1-e)x² < (1-e) ... | linke Seite zusammenfassen <=> e*x² < (1-e) ... | durch e div. <=> x² < (1-e)/e ... | *fertisch* -Steele- (auf die Schnelle) |
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