Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Supremum Infimum

Supremum Infimum

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Student1989 aktiv_icon

20:39 Uhr, 26.10.2010

Bestimmen Sie Supremum und Infimum folgender Teilmengen von R:

M1 = {2^-k | k element von N}

R = reelle Zahlen

N = natürliche Zahlen ( ohne null )

Also ich habe keine ahnung genau wie ich die lösen soll wir sollen die bernullische ungleichugn verwenden.

Ich habe durch einsetzen herausgefunden dass sich 2^-k zwischen 0 und 1 bewegt bzw sich an 0 annähert und an 1 auch.

Ich habe folgende Lösung für das Supremum:

Bedingung für Supremum

- s ist eine obere Schranke für M

- für jede obere Schranke s` für M gilt s<= s´

Wir nehmen an das Sup M1 = 1 gilt. Nun müsste die Bedingungen geprüft werden. Es sei also s´ element von R eine obere Schranke für M1.

Angenommen s´ wäre kleiner als 1.

Zahlenstrahl:

---(0)|-------|(s´)---|(x)---|(1)-->

Dann wäre die Zahl x = (1+s´)/2 ( Mittelpunkt von S´ und 1)kleiner als (1+1)/2 = 1. D.h. es wäre x element M. Anderseits wäre x > (s´ + s´)/2 = s´ und damit wäre s´ gar keine obere Schranke für M

Habe die ungleichung jetzt nicht wirklich benutzt. Gibt es eine andere möglichkeit supremum und infimum zu bestimmen? Is meine richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Student1989 aktiv_icon

20:58 Uhr, 26.10.2010

keiner ne idee?

kalli

21:12 Uhr, 26.10.2010

Hallo,

Wenn

k \in ℕ^{+},

also

k \geq 1,

dann sollte

2^{- 1} = \frac{1}{2}

das Supremum sein und nicht

1,

oder?
Wenn Du zeigst, dass die Folge monoton fällt, dann kannst Du das erste Glied als Supremum bzw. Maximum nehmen.

LG

Student1989 aktiv_icon

21:18 Uhr, 26.10.2010

hae ^^ ich verstehe nix :(

kannst du mir das bitte etwas genauer erklären?

kalli

21:29 Uhr, 26.10.2010

Betrachte die Folge

{(a_{k})}_{k \in ℕ}

mit

a_{k} := 2^{- k}

Wenn Du zeigst, dass

2^{- k} > 2^{- k + 1}

für jedes

k,

dann ist die Folge monoton fallend. Damit ist das erste Folgeglied

2^{- 1}

das größte Element der Menge und damit das Supremum.

2^{- k} > 2^{- k + 1} \Leftrightarrow \frac{2}{k} > \frac{2}{k + 1} \Leftrightarrow \frac{2 (k + 1)}{k \cdot (k + 1)} > \frac{2 \cdot k}{k \cdot (k + 1)} \Leftrightarrow (2 (k + 1)) > (2 \cdot k)

.
Dies gilt offensichtlich. Damit ist die Folge also streng monoton fallend.

Da

ℕ

diskret ist und bei 1 beginnt, muss

a_{1}

das größte Element der Menge sein und ist damit das Supremum.

Student1989 aktiv_icon

21:37 Uhr, 26.10.2010

un wie kann man das machen? o.O sry für die doofe frage aber ich bin n bissl überfordert -.-

kalli

21:46 Uhr, 26.10.2010

Hallo,
ich habe oben weiter gerechnet.

LG

Student1989 aktiv_icon

22:00 Uhr, 26.10.2010

also folgen und monoton fallend hatten wir noch nicht daher verwende ich das lieber nicht sonst muss ich das alles beweisen und herleiten.

gibt es nicht ne andere möglichkeit mit der bernullischen ungleichung?

kalli

22:12 Uhr, 26.10.2010

wie lautet die denn?
Außerdem kannst Du doch auch so argumentieren, ohne Dich auf Folgen zu beziehen.

Student1989 aktiv_icon

22:18 Uhr, 26.10.2010

bernullische ungleichung:

(1+x)^n >= 1 + nx

Student1989 aktiv_icon

22:20 Uhr, 26.10.2010

mein problem is das ich nich weiss wie ich des gescheit zeigen kann.

klar sehe ich dass die menge bei 1 sup hat und bei 0 inf oder so durch einsetzen. aber einfach zu behaupten es gibt nix größeres als 1 beim sup is irgendwie zu einfach. es muss doch klare struckturen geben wie man sowas beweisen kann oder?

kalli

22:24 Uhr, 26.10.2010

Das Supremum ist ja

\frac{1}{2}

und nicht 1.

Was Du hier benutzen kannst, ist das

f (x) = \frac{1}{2^{x}}

eine streng monoton fallende Funktion ist. Das kannst Du so zeigen, wie ich es mit der Folge gemacht habe.

Da jetzt 1 der kleinste Wert ist, denn Du einsetzen kannst.
PRoblematischer wird das für

k \to \infty

. Da musst Du in der Tat anders argumentieren, aber das Supremum ist aus meiner Sicht mit der Argumentation sicher bewiesen.

Student1989 aktiv_icon

22:27 Uhr, 26.10.2010

wie meinst du 1 2 ?

1 * 2 oder 1 + 2 entweder wird das net dargestellt bei mir oder ich bin doof...

kalli

22:44 Uhr, 26.10.2010

Hallo,
bei mir wird das richtig dargestellt. Da steht 1 durch 2 oder

0,5

.

Wenn Du

2^{- 1}

rechnest kommt halt

0,5

raus.

Student1989 aktiv_icon

22:47 Uhr, 26.10.2010

aah^^

jetzt verstehe ich.

hmm ja ok muss die kleineste obere schranke denn in N sein oder kann diese nicht auch in R sein. Die kleinste obere schranke kann ja auch außerhalb der menge liegen oder? damit würde sie ja in r liegen und somit könnte man auch 1 als kleinste obere schranke nehmen. ansonsten würde ich auch sagen 0,5. nur dann müsste ich noch beweisen dass die monoton fallend ist wie macht man das? Wie wird da dann diese bernullische ungleihung verwendet die ich verwenden soll?

kalli

23:12 Uhr, 26.10.2010

Also die kleinste obere Schranke liegt in

ℝ

. Da die Menge, die Du Berechnen sollst Teilmenge von

ℝ

ist. 1 ist zwar eine obere Schranke, aber definitiv nicht die kleinste.
Da die Zahlenmenge

ℕ

bei 1 anfängt, hat diese Menge wegen der Monotonie ein größtes Element. Damit ist das Supremum das Maximum.

Die Bernoulische Ungleichung kannst Du verwenden, indem Du für

x 1

einsetzt. Dann erhälst Du:

{(1 + 1)}^{n} \geq 1 + n,

also

2^{n} \geq 1 + n

.

Könnte mir vorstellen, dass man damit das Infimum zeigen kann.
Wir können den Kehrwert bilden. Dabei muss man beachten, dass sich dabei das Relationszeichen umdreht (denn wenn

\frac{2}{3} > \frac{1}{2},

dann ist

\frac{3}{2} < \frac{2}{1})

.

Du erhälst dann:

\frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{n + 1}

.

Wenn nun

n \to \infty

läuft, dann geht

\frac{1}{n + 1}

gegen 0.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

809948

809842

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?