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Supremum, Infimum

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Körper

Tags: Infimum, Supremum

Marie1 aktiv_icon

11:25 Uhr, 30.10.2010

Hallo =)

Ich habe ein Problem mit diesem Supremum und Infimum usw. Ich verstehe nicht so ganz wie man das Berechnen kann. (habe auch schon in diversen Büchern nachgeschaut=( )

Ich muss einige Aufgaben zu diesem Thema lösung und weiß leider noch nicht mal so genau wie man da "ran geht"

Vielleicht kann es mir jemand an diesem Bsp erklären:

Aufgabeenstellung:

Bestimmen sie Supremum und Infimum-falls sie existieren- der folgenden Mengen reeller Zahlen und untersuchen Sie jeweils, ob diese Zahlen zur Menge gehören:

$M = (x \in R ∖ (x - a) (x - b) (x - c) \leq 0) m i t a, b, c \in R$

dfBei dieser Aufgabe habe ich mir überlegt dass vllt a,b,c Supremum sind (ich weiß auch nicht ob das stimmt. Wie man das nachprüfen kann verstehe ich leider auch nicht. in der Vorlesung haben wir dazu ein $ϵ$ benutzt

Danke schon mal für eure Hilfe,

Lg Marie

anonymous

11:44 Uhr, 30.10.2010

Hallo,

sei

y \in ℝ

mit

y > a, y > b

und

y > c,

dann folgt:

y - a > 0

UND

y - b > 0

UND

y - c > 0 \Rightarrow (y - a) \cdot (y - b) \cdot (y - c) > 0

Damit gehört

y

nicht zur Menge

M

und da das für alle

y > max (a, b, c)

gilt, ist die Menge

M

nach oben beschränkt und wegen der Ordnungeigenschaften der reellen Zahlen existiert das Supremum. Offenbar ist

max (a, b, c)

eine obere Schranke, denn wie gezeigt gilt für alle

y

die größer sind, daß sie nicht zu

M

gehören. Andererseits gilt aber, daß

y = max (a, b, c)

zur Menge

M

gehört, denn das Produkt wird für dieses

y

Null, weil einer der Faktoren Null wird. Damit gehört das Supremum zur Menge.

Sei andererseits

y \in ℝ

mit

y < a

UND

y < b

UND

y < c,

dann folgt:

y - a < 0

UND

y - b < 0

UND

y - c < 0 \Rightarrow (y - a) \cdot (y - b) \cdot (y - c) < 0

und

y

ist in der Menge enthalten. Damit ist die Menge

{y | y < min (a, b, c}

eine Teilmenge von M. Da diese Teilmenge nach unten nicht beschränkt ist, kann es

M

auch nicht sein. Keine untere Schranke ist gleich kein Infimum.

Marie1 aktiv_icon

12:13 Uhr, 30.10.2010

hallo,

Ich habe noch ein paar Fragen:

1.Im Prinzip kann ich fast alles nachvollziehen was du geschrieben hast, aber wie kommst du auf die annahme: y>a und y>b und y>c

y ist hierbei (in der ANnahme) das Supremum (falls es existiert) oder?

Woher weisst du denn was du für Annhamen machen musst um auf das richtige Ergebnis zu kommen? und darf ich einfach irgendwelche Annahmen machen?

2.Den Folgenden Teil verstehe ich nicht so ganz:

"Damit ist die Menge {y|y<min(a,b,c} eine Teilmenge von M. Da diese Teilmenge nach unten nicht beschränkt ist, kann es M auch nicht sein. Keine untere Schranke ist gleich kein Infimum."

Teilmenge deshalb weil $y \subset R U n d M \subset R$

Ist diese Menge nach unten nicht beschränkt weil man immer kleinere y einsetzen kann?

Sorry dass ich mich so blöd anstelle aber ich kann die anderen Aufgaben nicht lösen wenn ich das was oben steht nicht weiß.

Lg Marie

anonymous

12:30 Uhr, 30.10.2010

Hallo,

ein Haufen fragen, ich versuche sie chronologisch abzuarbeiten...

"Im Prinzip kann ich fast alles nachvollziehen was du geschrieben hast, aber wie kommst du auf die annahme:

y > a

und

y > b

und y>c"

Das Vorzeichen einses Produktes dreier Zahlen wird durch die Vorzeichen der Faktoren beeinflußt. Und

\leq

Null heißt nun mal, dass für

x

kein positives Produkt entstehen darf. Das tut es aber, wenn alle drei Faktoren größer als Null sind. Somit darf für ein

x

der Menge niemals ein Faktor größer als Null werden. Wann werden die einzelnen Faktoren größer Null, wenn

x

größer als

a, b

oder

c

ist. Und wann werden alle Faktoren größer Null, wenn

u . a

x

größer als

a,

größer als

b

und größer als

c

ist. Und schon habe ich meinen Ansatz.

"y ist hierbei

(\in

der ANnahme) das Supremum (falls es existiert) oder?"

Nein, es dient nur als eine obere Schranke. Ich kann so zeigen, daß die Menge nach oben beschränkt ist. Die Existenz der Schranke und die Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen sichert mir die Existenz eines Supremums zu. Was das Supremum ist, liegt in diesem Falle auf der Hand. Ein

y > max (a, b, c)

kann es nicht sein, denn

\bar{y} = y - \frac{1}{2} \cdot (y - max (a, b, c))

ist kleiner als

y

und ebenfalls größer als

max (a, b, c)

. Somit fällt ein solches

y

als kleinste obere Schranke aus. Nur

max (a, b, c)

erfüllt die Bedingung, denn es ist Bestandteil der Menge und alle größeren reellen Zahlen sind es nicht.

"Woher weisst du denn was du für Annhamen machen musst um auf das richtige Ergebnis zu kommen? und darf ich einfach irgendwelche Annahmen machen?"

Hier gilt: Erfahrungen sammeln und das geht nur durch Lösen von Übungen. Wie ich hier konkret drauf gekommen bin, hatte ich bereits oben geschrieben.

"Teilmenge deshalb weil y⊂ℝ Und M⊂ℝ"

Nein. Teilmenge (nicht ECHTE Teilmenge!), weil ich vorher gezeigt habe, daß alle

y < min (a, b, c) \in M

enthalten sind. Also weil alle

y \in {y | y \in ℝ

UND

y < min (a, b, c)}

auch die Bedingung von

M

erfüllen und somit

y \in M

gilt. Und das ist genau die Teilmengendefinition.

"Ist diese Menge nach unten nicht beschränkt weil man immer kleinere

y

einsetzen kann?"

Zu jedem

y \in {y | y \in ℝ

UND

y < min (a, b, c)}

gibt es ein

y - 1,

für das man nachweisen kann, daß

y - 1 \in {y | y \in ℝ

UND

y < min (a, b, c)}

. Damit ist diese Menge nach unten unbeschränkt und als Teilmenge kann

M

somit nicht nach unten beschränkt sein.

Geschafft!
Vorerst?

Marie1 aktiv_icon

11:17 Uhr, 31.10.2010

danke hast mir sehr geholfen!

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