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Supremum der Norm des Gradienten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Gradient, Norm, Supremum

arthur12345 aktiv_icon

17:37 Uhr, 22.06.2024

Sei

f (x, y, z) = \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + y^{2}}}

. Sei weiter

0 < c < C \in ℝ

und

G = (x, y, z) : c < z < C

. Berechne

sup ∣ ∣ \nabla f ∣ ∣

auf G.

Lösungsansatz: Es gilt

∣ ∣ \nabla f ∣ ∣ = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

. Meine Idee wäre es

r := \sqrt{x^{2} + y^{2}}

zu setzen. Dann gilt

∣ ∣ \nabla f ∣ ∣ = \frac{r}{r^{2} + z^{2}}

. Mit der partiellen Ableitung nach

r

und diese 0 setzen ergibt

z^{2} = r^{2} \Rightarrow ∣ ∣ \nabla f ∣ ∣ = \frac{1}{2 z} \Rightarrow sup ∣ ∣ \nabla f ∣ ∣ = \frac{1}{2 c}

. Jedoch bin ich mir ei dem Lösungsansatz nicht sicher.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:46 Uhr, 24.06.2024

Sieht alles überzeugend aus - bis auf den kleinen Verschreiber

\sqrt{x^{2} + y^{2} + y^{2}}

in Zeile 1. Den ich übrigens erst beim dritten Durchlesen bemerkt habe, vorher hat die Gehirn-Autokorrektur das immer in

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

umgewandelt. :-)

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