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Supremum einer Folge als Häufungspunkt
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen, Häufungspunkte, Supremum
 
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Hallo, benötige Hilfe bei folgender Aufgabe: Zeigen Sie: Wenn das Supremum einer beschränkten Folge entweder überhaupt nicht oder unendlich oft auftritt, dann ist das Supremum Häufungspunkt. Der eine Fall ist ja einfach, nämlich wenn das Supremum unendlich oft auftritt. Allerdings hänge ich bei den Fall, dass das Supremum nicht vorkommt. Ich habe zunächst das Supremum mit gewählt. Danach habe ich in den zwei Fällen unterschieden. 1. Fall: tritt unendlich oft in der Folge auf ist Element von Der Fall ist wie gesagt gelöst. 2. Fall: ist nicht Element von Aber: ist kleinste obere Schranke und somit gilt: für alle aus IN Danach hänge ich allerdings fest. Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass in jeder Epsilon-Umgebung von unendlich viele Folgeglieder liegen müssen. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. Für Hilfe jeder Art bin ich schon im Voraus dankbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Angenommen, es gibt ein so dass nur endlich viele Folgenglieder innerhalb der epsilon-Umgebung von liegen. Alle Folgenglieder liegen dann "unterhalb von" da ja im betrachteten Fall nicht angenommen wird (ich geh' jetzt mal davon aus, dass es eine Folge in ist; ansonsten muss man halt mit der Norm der Folgenglieder arbeiten). Dann aber ist nicht das Supremum, sondern das (ggf. norm-)größte der oben genannten Folgenglieder, im Widerspruch zur Voraussetzung. |
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