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Supremum einer Menge, gleichmässige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

Miausch aktiv_icon

14:25 Uhr, 15.12.2012

Hi

Für die Funktionenfolge

f_{n} (x) = (\frac{x}{n})

mit

x

aus

ℝ

wird gesagt, dass sie nicht gegen

f (x) := 0

konvergiert, da supremum

| \frac{x}{n} | = \infty

sei für

x \in ℝ

(und damit also supremum(x/n) für

n

gegen unendlich keine Nullfolge sei).

Dabei verstehe ich folgendes nicht - es heisst "für alle

x

für alle

n

ist das supremum von

(\frac{x}{n}) =

oo". Aber wird hier wirklich über

x

wie auch über

n

allquantifiziert?
Man fixiert doch

n,

und schaut sich alle

x

aus dem Definitionsbereich an - denn sonst könnte man aus dem Ganzen ja auch keine Folge basteln (wenn man sowieso immer alle

n

betrachet). Oder?

rx1974 aktiv_icon

16:23 Uhr, 15.12.2012

Es ist egal, was für

x

eingesetzt wird, die Folge hat ihr Supremum bei unendlich. Das gilt also für alle Folgen, die so gebildet werden können (z.B.

\frac{1}{n}

\frac{2}{n}

\frac{3}{n}

, ...)

Edit: Ich glaube ich habe die Frage falsch verstanden.

Miausch aktiv_icon

18:55 Uhr, 15.12.2012

Ich war auch etwas verwirrt und habe die Frage wohl nicht sehr klar gestellt.

Meine Frage ist eigentlich, wie man über

n

und

x

quantifizieren muss. Wie ich es nun verstehe hält man dabei immer ein

n

fix und schaut sich alle

x

aus dem Definitionsbereich an: also

z . B

. fixiert man

n = 1

und schaut sich dann

\frac{x}{1}

an, und das hat ja kein Supremum. Und dann nimmt man

n = 2

und schaut sich die Menge

{\frac{x}{2}; x

aus

R}

an etc.
Also wird eigentlich nicht über

x

und

n

auf die gleiche Weise quantifiziert. Also man könnte es zB so machen, dass man

x

fixiert, also zb

x = 100

wählt, und dann

n

beliebig ist. Ich meine, wenn man das macht, dann konvergiert ja

\frac{x}{n}

(obwohl diese Konvergenz wohl gar nicht relevant ist, schliesslich möchte man wissen, ob die Suprema konvergieren..?) Versteht ihr/du, was ich meine?

pwmeyer aktiv_icon

19:49 Uhr, 15.12.2012

Hallo,\sup

wenn es um die gleichmäßige Konvergenz einer Folge von Funktionen

f_{n} : I \to ℝ

gegen eine Funktion

f : I \to ℝ

geht, dann ist eine mögliche Definition:

a_{n} \to 0

für

a_{n}

:=Supremum

{| f_{n} (x) - f (x) | : x \in I}

D . h

. das Supremum ist zunächst über

x \in I

zu nehmen. In Deinem Beispiel ist also

a_{n} = \infty

.

Gruß pwm

Miausch aktiv_icon

22:09 Uhr, 15.12.2012

Auf den PUNKT! Danke!!

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