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Supremum mit archimedischem Axiom erklärt

Universität / Fachhochschule

14:00 Uhr, 25.11.2020

Hallo Leute. Könnt ihr mir dieses Beispiel hier erklären? . Kapier nicht warum hier das Archimedische Axiom von nutzen ist und warum es kein

max

gibt.

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

17:46 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

es wird gezeigt: Für jedes (noch so kleine)

ε

gibt es ein

x \in ℝ

(positiv) mit

\frac{x}{1 + x} > 1 - ε

Das führt durch Umformung auf die Frage, ob es ein

x

gibt mit

\frac{1}{ε} - 1 < x

. Diese Frage beantwortet das Archimedische Axiom, das

-

in einer Variante - besagt:

ℝ

ist unbeschränkt, oder: zu jedem

n \in ℕ

gibt es ein

y \in ℝ

mit

n < y

oder

...

. (es gibt verschieden Varianten.

Für die hier benötigt Aussage ist das mit Kanonen auf Spatzen geschossen, man kann ja einfach

x = \frac{1}{ε}

nehmen.

Was die andere Frage angeht: Klar ist, dass

\frac{x}{1 + x} \leq 1

ist, also ist 1 eine obere Schranke.
Durch die Rechnung ist gezeigt: Es gibt keine kleinere Schranke; denn jedes

1 - ε

ist keine Schranke.

Ein Maximum ist ein Supremum, was selbst zur betrachteten Menge gehört. Also wäre 1 jetzt ein Maximum, wenn es ein

x

gäbe mit

\frac{x}{1 + x} = 1 -

was nicht geht.

Gruß pwm

19:14 Uhr, 25.11.2020

Hallo
irgendwas ist falsch an deinem Mitschrieb, wenn du ein supremum für etwas suchst und das 1 sein soll, muss doch

\frac{x}{1 + x} \leq 1 - ε

sein und nicht größer. Wenn der Betrag wegfällt gilt ab da

x \geq 0

dass das kein

max

ist weil es kein

x

gibt für den

\frac{x}{1 + x} = 1

warum man Archimedes Axiom verwendet siehe nach in de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Axiom, dort unter Folgerungen
Gruß ledum

19:14 Uhr, 25.11.2020

Hallo
war fehlerhaft, sorry
ledum

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