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Supremum/Infimum -> Beweise
Universität / Fachhochschule
Tags: Infimum, Ordnungsrelation, Supremum
 
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Hallo zusammen, ich soll die folgende Aufgabe bearbeiten und hätte dazu gerne Eure Einschätzung und Hilfe :-): Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum sowie das Maximum und das Minimum der folgenden Menge, falls diese jeweils existieren. Ist die Menge (nach oben / nach unten) beschränkt? Begründen Sie Ihre Aussagen! ≤ ∈ Lösungsvorschlag: inf (A) Begründung: Der kleinste annehmbare Wert für A liegt bei 2 für . Es liegt also ein Infimum vor, da 2 der Wert ist, den die Menge A auf keinen Fall unterschreitet und 2 zudem gleichzeitig das größte Element aller unteren Schranken von A ist. Die Menge A ist also nach unten beschränkt. Da inf (A) auch Teil der Menge A ist, handelt es sich gleichzeitig um ein Minimum. Es existiert kein Supremum für da bei einer Annäherung von an 0 durch beliebig große Werte entstehen können, was dazu führt, dass es keine oberen Schranken/ein Supremum geben kann. Die Menge ist nicht nach oben beschränkt. Seien ⊆ nichtleere, beschränkte Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie: A⊆B ⇒ inf(A)≥inf(B) inf(A∩B)=maxinf(A),inf(B)} Leider habe ich in diesem Fall keine wirkliche Idee, wie das ganze bewiesen werden soll. Zumindest bei vermute ich mal, dass man zunächst zeigen soll, dass A geschnitten eine untere Begrenzung (inf) hat, da zwar eine Begrenzung gegeben ist, aber nicht, ob dies eine untere ist... Wenn man das haben sollte, wie geht man dann weiter vor? Könnte das mal einer beispielhaft zeigen...? Besten Dank für die Hilfe, pl123 Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Begründung: Der kleinste annehmbare Wert für A liegt bei 2 für x=1." Das muss man beweisen. "Es existiert kein Supremum für A, da bei einer Annäherung von x an 0 durch 1x beliebig große Werte entstehen können, was dazu führt, dass es keine oberen Schranken/ein Supremum geben kann. Die Menge ist nicht nach oben beschränkt." Das ist richtig. "2) Seien A,B ⊆ nichtleere, beschränkte Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie: (a) A⊆B ⇒ inf(A)≥inf(B) (b) inf(A∩B)=max{inf(A),inf(B)} Leider habe ich in diesem Fall keine wirkliche Idee, wie das ganze bewiesen werden soll." a) Am einfachsten indirekt. Es gilt . Sei und . Annahme: . Dann würde nach der Definition von Infinum ein existieren, so dass . Dieses liegt aber auch in , wegen . Damit haben wir ein aus , für das gilt . Das ist ein Widerspruch zu der Definition von Infinum. Also ist unsere Annahme falsch. Damit ist bewiesen. b) Sei , und . Wegen und haben wir laut a): und , also . Mehr kann man aber auch nicht beweisen, muss nicht unbedingt gelten, es ist leicht, ein Gegenbeispiel zu konstruieren. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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