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Supremun ; lim sup

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Luna-

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16:32 Uhr, 12.03.2023

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Hallo ; Hier ist mal die Angabe :
Sei (an)n∈N ⊂ R. Zeigen Sie: lim an = ∞ ⇔ (an)n∈N ist nicht nach oben beschränkt.
LÖsung:

⇒“ lim an = ∞ heißt, dass es fur alle cR unendlich viele nN
gibt mit an >c; (an) ist also nach oben nicht beschränkt.
“⇐“ Sei c ∈ R. Gäbe es nur endlich viele nN mit an >c,z.B.
n1,. . . , nm, dann wäre b:=max{c, an1, . . . , anm} eine obere Schranke
für ( an), Widerspruch zur Voraussetzung!
Also gibt es zu jedem cR unendlich viele nN mit an >c, also
lim an = ∞.

nun lautet meine Frage : interpretiere ich das Richtig " b= obere Schranke ... Widerspruch zur Voraussetzung "
Ist damit die Voraussetzung dass an nach oben unbeschränkt ist gemeint .( Denn wären nur endlich viele Zahlen größer als c, wäre b eine obere Schranke ; also b wäre nach oben unbeschränkt und würde gegen unendlich (bestimmt ) divergieren .)
Was bedeutet eigentlich der zweite Pfeil der in die entgegengesetzte Richtung (nach links ) zeigt ?
Danke mal voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Punov

Punov aktiv_icon

17:23 Uhr, 12.03.2023

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Hallo, Luna-!

Bewiesen wird hier die Äquivalenz zweier Aussagen A und B. Das bedeutet, man muss zwei Richtungen beweisen: AB (d.h. aus Aussage A folgt Aussage B) sowie AB (d.h. Aussage B impliziert Aussage A). Die Kurzschreibweise hierfür ist AB.

Bei dem Beweis BA nimmst du an, daß die Folge (an)n nach oben unbeschränkt ist. Der Widerspruch funktioniert jetzt so, daß du annimmst, limsupnan, d.h. limsupnan{-}. Dann nimmst du ein beliebiges c her und argumentierst, daß man eine obere Schranke von (an)n finden kann, was der oberen Unbeschränktheit widerspricht.

Ist nämlich limsupnan{-}, dann sind nur endlich viele Folgenglieder ak1,ak2,,akm der Folge (an)n größer als das beliebig gewählte c. Dann gilt aber anb:=max{c,ak1,ak2,,akm} für alle n, sodaß b eine obere Schranke der Folge wäre (das Maximum der Menge existiert, da die Menge endlich ist). Der Beweis startete aber mit der Annahme, die Folge sei nach oben unbeschränkt. Widerspruch! Also gilt limsupnan=.


Viele Grüße
Frage beantwortet
Luna-

Luna- aktiv_icon

19:34 Uhr, 13.03.2023

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Alles klar !vielen Herzlichen Dank !!