Hallo ; Hier ist mal die Angabe : Sei (an)n∈N ⊂ R. Zeigen Sie: an = ∞ ⇔ (an)n∈N ist nicht nach oben beschränkt. LÖsung:
⇒“ an = ∞ heißt, dass es fur alle ∈ unendlich viele ∈ gibt mit an (an) ist also nach oben nicht beschränkt. “⇐“ Sei ∈ R. Gäbe es nur endlich viele ∈ mit an . . . . , nm, dann wäre an1, . . . , anm eine obere Schranke für ( an), Widerspruch zur Voraussetzung! Also gibt es zu jedem ∈ unendlich viele ∈ mit an also an = ∞.
nun lautet meine Frage : interpretiere ich das Richtig " obere Schranke . Widerspruch zur Voraussetzung " Ist damit die Voraussetzung dass an nach oben unbeschränkt ist gemeint Denn wären nur endlich viele Zahlen größer als wäre eine obere Schranke ; also wäre nach oben unbeschränkt und würde gegen unendlich (bestimmt ) divergieren Was bedeutet eigentlich der zweite Pfeil der in die entgegengesetzte Richtung (nach links ) zeigt ? Danke mal voraus
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Hallo, Luna-!
Bewiesen wird hier die Äquivalenz zweier Aussagen und . Das bedeutet, man muss zwei Richtungen beweisen: (d.h. aus Aussage folgt Aussage ) sowie (d.h. Aussage impliziert Aussage ). Die Kurzschreibweise hierfür ist .
Bei dem Beweis nimmst du an, daß die Folge nach oben unbeschränkt ist. Der Widerspruch funktioniert jetzt so, daß du annimmst, , d.h. . Dann nimmst du ein beliebiges her und argumentierst, daß man eine obere Schranke von finden kann, was der oberen Unbeschränktheit widerspricht.
Ist nämlich , dann sind nur endlich viele Folgenglieder der Folge größer als das beliebig gewählte . Dann gilt aber für alle , sodaß eine obere Schranke der Folge wäre (das Maximum der Menge existiert, da die Menge endlich ist). Der Beweis startete aber mit der Annahme, die Folge sei nach oben unbeschränkt. Widerspruch! Also gilt .
Viele Grüße
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