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Surjektiv, Injektiv von linearen Abbildungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Injektivität, Linear Abbildung
 
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Hallo, Ich muss bei einer Aufgabe nachweisen ob die Abbildungen injektiv oder surjektiv oder sogar bijektiv, außerdem muss ich prüfen ob sie linear sind. Wie man überprüft ob sie es nicht sind, weiß ich. Aber wie weise ich nach, dass es für alle gilt... . Bei: →R^2,(x,y,z) →(x−z,x+y); Ich weiß es ist nicht injektiv, behaupte aber es ist surjektiv, wie weiße ich das nach? Und wie weiße ich nach, ob sie linear ist? Und wie weiße ich injektivität nach? Hier ein paar Aufgaben.. ich hoffe, dass ihr es mir daran erklären könnt.. 2→ → → → →F2,(x,y,z) →x+y+z+1. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Nicht "weiße nach", sondern "weise nach". Alles wird einfach per Definition nachgewiesen. Z.B. ist surjektiv, denn für jedes aus dem Bildraum gibt's , so dass , nämlich (nicht die einzige mögliche Wahl, aber das ist irrelevant). ist linear, weil erstens (prüft man direkt: links steht und rechts , was dasselbe ist) und zweitens , was genauso direkt geprüft wird. |
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Erstmal danke. Ich bin so vorgegangen: Wie komme ich dann auf die Lösung.. könnten Sie mir das Schritt für Schritt erklären? |
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Ich habe sie einfach gesehen. Wenn Du so was nicht siehst, kannst Du ja auch formal lösen: => . Einsetzen in die 2. Gleichung: . Hier gibt's zwei Unbekannte für nur eine Gleichung, daher kannst Du eine davon beliebig setzen und dann die zweite berechnen. Danach berechnen und fertig. |
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Okay danke! Habe jetzt ebendfalls eine Lösung heraus! Und wie mache ich das bei Injektivität? |
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Genauso, mit der Definition. In diesem Fall ist die Abbildung nicht Injektiv, denn z.B. für jedes . In diesem Fall gibt's keinen Algorithmus, wie man darauf kommt. Es ist halt eine kreative Aufgabe. Man kann aber auch anders argumentieren, z.B. über die Dimension. Falls Abbildung Injektiv ist, zeigt man einfach, dass aus unbedingt folgt. Z.B. für die Abbildung würde das so gehen: => und => (Addition der Gleichungen) => => => . |
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Okay perfekt, danke! Wenn ich jetzt den Kern der ersten Aufgabe bestimmen will, dann muss ich ja: Berechnen oder ? Dann kommen ich auf . Ist der Ker(f)= oder wie schreibe ich dies dann auf? |
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Als Menge oder als lineare Hülle oder einfach sagen, dass eine Basis des Kerns ist. |
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Noch eine letzte Frage.. Bild(f)= Oder ? |
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Im Prinzip schon, aber das ist zu umständlich, denn eigentlich ist Bild von einfach , da surjektiv ist. |
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Danke vielmals! |
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