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Surjektiv, injektiv, bijektiv?
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Lineare Abbildungen
 
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Seien nicht leere Mengen, zeigen Sie:
Ist A eine endliche Menge auf eine Abbildung, dann sind äquivalent: injektiv, surjektiv, bijektiv Mir ist klar, was die Begriffe an sich bedeuten. Ich habe gedacht, dass A auf A immer die gleiche Mächtigkeit hat (da genau ein Element A auf ein anderes Element A trifft). Damit wäre diese Abbildung doch bijektiv? Aber leider ist mir nicht ganz klar, wie ich dies mathematisch ausdrücken soll...Kann mir bitte jemand helfen? |
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heisst zunächst nur, dass eine Abbildung von A nach A ist, also für jedes ein Element zugeordnet wird. Für den Beweis der Aufgabe, . "wenn injektiv ist, dann ist surjektiv", beachte: hat Elemente und ist injektiv, so hat auch ELemente; demnach muss hier also sein, da A keine echte Teilmenge der Mächtigkeit enthält. |
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<Zitat> Ist A eine endliche Menge auf A">f:A→A eine Abbildung </Zitat> Was soll das nach dem A bedeuten? Egal, du solls ja eine Äquivalenzaussage treffen. A endlich, Funktion: trivial trivial Also kannst du zum Bsp.: (2) und (1) zeigen. Geht dann ungefähr so. (1) Sei und A wie oben, zusätzlich noch injektiv. Sei aus A und alle Elemente aus A bilden auf einen eigenen Wert ab. |Bild(f)| auch surjektiv bijektiv |
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Vielen Dank schonmal für die schnellen Antworten. Zitat: Geht dann ungefähr so. → Sei und A wie oben, zusätzlich noch injektiv. ⇒ Sei aus A und ⇒ ⇒ alle Elemente aus A bilden auf einen eigenen Wert ab. ⇒ |Bild(f)| ⇒ auch surjektiv ⇒ bijektiv Wäre das dann der Beweis dafür, dass injektiv,surjektiv und bijektiv ist? Kann ich das so aufschreiben meine ich? |
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In diesem Teil ist nur gezeigt, dass wenn injektiv ist, ist auch surjektiv und damit bijektiv. Wenn bijektiv ist, ist per Definition ja injektiv uns surjektiv, also musst du da nix zeigen. Also hast du inj bijektiv inj surjektiv bijekt surjektiv Also was fehlt dir noch um den Kreis zu schließen? |
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Bin grade etwas überfordert...
dass wenn surjektiv ist, dass daraus folgt, dass auch bijektiv ist? |
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Dafür müsstest du ja zeigen, dass auch injektiv ist :-) Zeigst du also surjektiv injektiv bist du fertig |
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Klar, aber genau da tue ich mich noch schwer. Ich könnte das in Worten erklären, aber nicht mathematisch wiedergeben...das ist grade mein Problem. |
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A endliche Menge Abbildung Sei zusätzlich noch surjektiv. Nach dem Schubfachprinzip gilt dann injekitv und damit bijekiv. Ohne das Prinzip: surjektiv zu jedem aus A gibt es ein aus mit . Da jedes aus A nur auf ein aus A abgebildet wird, gilt direkt, dass injektiv. Dies ist keine große Aussage,obwohl manchmal sehr hilfreich. sollte so reichen. |
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Prima, ich werde es so übernehmen. Danke! |
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