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Surjektiv und Injektiv einer Menge zuordnen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: injektiv, Linear Abbildung, surjektiv

UchihaMadara aktiv_icon

08:57 Uhr, 06.09.2023

Hi!

für

φ : M \to M

für die Menge

{

Auto, Tiger} soll ich alle injektiven und surjektiven Abbildungen angeben.

suchen also

φ

(Auto)

= . .

. und

φ

(Tiger)

= . .

.

meine Gedanken:

Injektiv: jeder x-Wert trifft höchstens ein y-Wert im Bildbereich.
Entweder:

φ

(Auto) = Auto oder

φ

(Tiger) = Tiger

d . h

. Auto bzw. Tiger werden nur einmal im Bildbereich getroffen.

Surjektiv: jeder x-Wert trifft mindestens ein y-Wert im Bildbereich.

φ

(Auto) = Auto und

φ

(Tiger) = Tiger
und

φ

(Auto) = Tiger und

φ

(Tiger) = Auto

aber das was ich bei surjektiv gemacht habe, trifft doch eher auf bijektiv zu..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sukomaki aktiv_icon

14:05 Uhr, 06.09.2023

Deine Definitionen von injektiv und surjektiv scheinen mir verdreht zu sein.

> Injektiv: jeder x-Wert trifft höchstens ein y-Wert im Bildbereich.

Ist das nicht eher die Definition einer Funktion?

> Surjektiv: jeder x-Wert trifft mindestens ein y-Wert im Bildbereich.

Injektion heißt : Für jedes

y

im Bildraum gibt es höchstens ein

x

im Urbild mit

φ (x) = y

Oder in anderen Worten :

φ (x_{1}) = y

und

φ (x_{2}) = y \Rightarrow x_{1} = x_{2}

Surjektion heißt : Für jedes

y

im Bildraum gibt es mindestens ein

x

im Urbild mit

φ (x) = y

Für endliche Mengen sind injektiv und surjektiv gleichbedeutend.

Genau genommen sind diese beiden Begriffe dort sogar gleichbedeutend zu Bijektion.

Und zwar aus folgendem Grund :

Injektion

\to

Surjektion : Wenn ein

y_{1}

zweimal oder öfters getroffen wird, dann gibt es ein anderes

y_{2}

welches nicht getroffen wird.

Beispiel :

M = {1, 2, 3}

und

φ (1) = 1, φ (2) = 2, φ (3) = 2

Die Zwei wird zweifach getroffen. Also ist die Funktion nicht injektiv.

Gleichzeitig wird die Drei nicht getroffen. Also ist die Funktion auch nicht surjektiv.

Surjektion

\to

Injektion : Es gibt ein

y

, das nicht getroffen wird. Das heißt es gibt kein zugehöriges

x

mit

φ (x) = y

. Daraus folgt, dass es ein Element aus dem Urbild

x_{1}

gibt, welches den gleichen Wert annimmt wie ein anderes

x_{2}

Daher sind alle Injektionen / Surjektionen / Bijektionen für endliche Mengen gegeben durch die Vertauschungen der Elemente auch Permutationen genannt.

Also sind Deine Ideen mit

φ (A u t o) = A u t o

und

φ (T i g e r) = T i g e r

bzw.

φ (A u t o) = T i g e r

und

φ (T i g e r) = A u t o

richtig.

Für unendliche Mengen sieht es anders aus.

Beispiele :

f (x) = e^{x}

im Reellen

Die Exponentialfunktion ist dort injektiv, aber nicht surjektiv.

Und zwar weil sie keine negativen Werte annimmt (und auch Null nicht).

f (x) = \tan (x)

Der Tangens ist surjektiv, weil alle reelle Werte angenommen werden.

Jedoch tun sie das unendlich oft. Daher ist er nicht injektiv.

f (x) = x^{3}

Diese Funktion ist injektiv und surjektiv. Also auch bijektiv.

Ich hoffe das hilft.

Sukomaki

UchihaMadara aktiv_icon

14:55 Uhr, 06.09.2023

Wow, vielen Dank für die ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!

VG.

UchihaMadara aktiv_icon

14:55 Uhr, 06.09.2023

Wow, vielen Dank für die ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!

VG.

UchihaMadara aktiv_icon

14:55 Uhr, 06.09.2023

Wow, vielen Dank für die ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!

VG.

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