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Surjektivität-Monotonie

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Funktionen

Tags: Funktion

MathMP

19:23 Uhr, 27.02.2019

Hallo, ich beschäftige mich derzeit mit Umkehrfunktionen. Mir ist klar, dass eine Funktion in-,su-jektiv sein muss(also bijektiv) damit man eine Umkehrfunktion bilden kann.

Meine Fragen:

Surjektivität

\to

jedes "y" wird mindestens einmal "getroffen" ist das nicht das "selbe" wie Monotonie, weil bei einer monotonen Funktion werden doch auch alle

y

getroffen? Kann ich Surjektivität gleich mit Monotie beweisen bzw. ersetzt der Monotoniebeweis die Surjektivitätvorraussetzung?

Injektivität-> bedeutet ja wir treffen jeden

y -

Wert nur einmal mit einem

x

. Also es gibt nicht ein

x

welches zwei

y

hervorbringt. ALso eigtl. sagt man mit Injektivität nur, dass es sich um eine Fun ktion handelt. Ein Kreis (Looping) in der "FUnktion" ist ja keine Funktion mehr, weil ein

x

Wert zwei

y

Werte hervorbringt. HAbe ich das so richtig verstanden?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

22:24 Uhr, 27.02.2019

Hallo
Nein surjektiv und monoton sind nicht dasselbe,
plot mal

y = x^{3} - 2 x d

als Abbildung

ℝ \to ℝ

jedes

y

wird getroffen, manche 2 oder sogar 3 mal.
dagegen ist objektiv und streng monoton dasselbe, bei Funktionen
deine Beschreibung :“ Also es gibt nicht ein

x

welches zwei

y

hervorbringt. " ist falsch, richtig ist : zu jedem

y

gibt es nur ein

x

im Gegensatz zu surjektiv, wo es gleiche

y

zu verschiedenen

x

geben kann..
jetzt klarer?
Gruss ledum

MathMP

09:19 Uhr, 28.02.2019

Hallo,

ich bin die Begriffe mit deiner Beschreibung nochmal durchgegangen.

Injektiv:

y

wird höchstens einmal oder garnicht erwischt. jedes

x

hat sein eigenes

y

.

nicht Injektiv: zb. ein

y

wird 2 mal getroffen

surjektiv: alle

y

werden getroffen, es gibt kein

y

welches nicht getroffen wird, manche werden sogar mehrfach getroffen.

monotonie: alle

y

werden getroffen und zwar nur einmal.

Deine Funktion:

y = x^{3} - 2 x

injektiv?: nein weil manche

y

zweimal getroffen werden.

surjektiv?: ja ist sie. (jedes

y

wird getroffen, manche mehrmals)

monoton?: Nein weil manche

y 2

mal getroffen werden.

Also gibt es von deiner Funktion keine Umkehrfunktion.

Sind die Aussagen so richtig bzw. vollständig?

Irgendwie denk ich mir, dass monotonie mit bijektivität zusammenhängt weil ja bei beiden: jedes

y

einmal getroffen wird und keines mehrfach getroffen wird??

HAL9000

09:48 Uhr, 28.02.2019

Was du als "monoton" beschreibst, ist in Wahrheit "bijektiv". Es gibt bijektive Funktionen

f : ℝ \to ℝ

, die NIRGENDS monoton sind - allerdings sind die dann auch nicht stetig, z.B.

f (x) = {\begin{array}{ll} x & für x \in ℚ \\ x + 1 & für x \in ℝ \ ℚ \end{array}

.

"injektiv/surjektiv/bijektiv" nehmen keinen Bezug auf die Ordnungsstruktur der beteiligten Räume, das ist bei "monoton" völlig anders.

MathMP

22:58 Uhr, 28.02.2019

Man kann aber sagen, dass wenn eine Funktion nicht monoton ist, dass sie sicher keine Umkehrfunktion besitzt nicht?

Passen meine restlichen Aussagen??

Danke

ermanus aktiv_icon

23:10 Uhr, 28.02.2019

Hallo,
da irrst du. Folgende Funktion ist nicht monoton,
aber bijektiv und ihre eigene Umkehrfunktion:

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto {\begin{array}{ll} - x & falls x \in [- 1, 1] \\ x & sonst \end{array}

.

HAL9000 hat ja auch ein anderes Beispiel angegeben.

Gruß ermanus

MathMP

12:59 Uhr, 01.03.2019

Danke allen, mir ist es jetzt etwas klarer geworden.

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