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Surjektivität allgemein zeigen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion, surjektivität zeigen
 
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Liebe Community, ich bin verzweifelt auf der suche nach einem "Rezept" um Surjektivität nachzuweisen oder zu widerlegen. Injektivität ist ja noch recht simpel mit Und ich frage mich ob es sowas nicht auch für Surjektivität gibt, also irgendwas ganz Allgemeines, ein Standardverfahren. Irgendwie finde ich im Netz kein Beispiel das ich verwenden könnte. Die Funktion mit der ich mich gerade beschäftige sieht wie folgt aus: Injektivität habe ich zeigen können, die Aufgabenstellung verlangt aber das ich zeige, dass die Umkehrfunktion existiert. Als Umkehrfunktion habe ich ermittelt: . Irgendwo habe ich gelesen, dass sein muss, dann liegt Surjektivität vor. Allerdings ist immer gleich oder nicht?! Ich hoffe ihr könnt mir helfen, diese Frage konnte mir irgendwie noch keiner so richtig beantworten... |
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Hallo, injektive Funktionen definiert man ja gerade so. D.h. eine Funktion heißt injektiv, wenn für alle gilt: . Insofern ist dieser "Standardweg" ja nichts anderes, als die Definition anzuwenden. Wenn wir uns soweit einig sind, stellt sich mir die Frage, wieso im Falle von Surjektiv genau dieser Weg nicht auch klappen sollte, d.h. auch hier einfach die Definition anwenden?! Eine Funktion gilt (gemeinhin) als surjektiv, wenn füra alle ein existiert, sodass gilt. Der "Standardweg" wäre also in diesem Fall: zeige zu jedem ein Urbild her. Wo liegt da die Schwierigkeit? Die Gleichung gilt eigentlich allgemein, taugt also als Kriterium für die Surjektivität nicht! Dabei ist aber zu beachten, dass der Term mindestens missverständlich ist. Man könnte eher sagen, dass (genau dann) surjektiv ist, wenn umgekehrt STETS gilt. Aber das ist eigentlich kein Kriterium, das praktikabler wäre als jenes, welches ich oben aufgeschrieben habe. Mfg Michael |
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Hallo, wenn man das noch einmal auf Dein Beispiel bezieht: Zu gegebenem ist ein zu suchen mit . Bei Deiner Bestimmung von hast Du offensichtlich durch dividiert, was nicht geht, wenn ist. Das gibt den Hinweis, dass 1 nicht im Bild von liegen könnte. In der Tat: Widerspruch Also gibt es kein mit . Gruß pwm |
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@michaL Kann man daraus folgern, dass Surjektivität quasi Injektivität der Umkehrfunktion bedeutet? Das kann doch eigentlich nicht sein, denn injektiv bedeutet ja, dass ein auf genau ein abgebildet wird. Surjektivität dagegen besagt, dass zu jedem mindestens ein existiert. Wo hab ich jetzt meinen Denkfehler? Oder hab ich die Antwort gänzlich mißverstanden? |
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Nicht ganz. Problem: Der Begriff der Umkehrfunktion ist nicht eindeutig. Wenn eine Abbildung ist und ebenfalls, so kann es sein, dass die identische Abbildung von auf sich selbst ist; in dem Fall ist injektiv (und genau dann, wenn injektiv ist, gibt es auch tatsächlich solch eine "linksseitige Umkehrabbildung" hierbei ist surjektiv, siehe unten). Oder es kann sein, dass die identische Abbildung von auf sich selbst ist; in dem Fall ist surjektiv (und genau dann, wenn surjektiv ist, gibt es auch tatsächlich solch eine "rechtsseitige Umkehrabbildung" hierbei ist injektiv, siehe oben). Oder es kann sogar sein,dass sowohl als auch die identische Abbildung (von bzw. auf sich selbst) ist; in dem Fall ist sogar bijektiv (und genau dann, wenn bijektiv ist, gibt es solch eine "beidseitige Umkehrabbildung" hierbei ist auch bijektiv, siehe oben). |
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Hallo, um auf deine konkrete Frage auch eine konkrete Antwort zu geben: Damit surjektiv ist, muss die (besser: eine) "Umkehrfunktion" definierbar sein, die dann ein "Umkehr"bild für alle liefert. Mfg Michael |
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