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Surjektivität bei ganzen zahlen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: surjektivität

8mileproof aktiv_icon

21:03 Uhr, 09.04.2011

hi,

ich lerne grad die surjektivität und möchte folgende aussage beweisen....ich habe echt probleme bei dem kartesischen Produkt....wenn das kommt, haperts echt....

also hier die aussage, die zu beweisen ist:

a)

ist

f : ℤ \times ℤ \to ℤ, (x, y) \to x^{2} + 2 y^{2}

eine surjektive abbildung?

ich würde gerne wissen, wie man sowas angeht? was rechnet Ihr zuerst? ich weiß, dass eine surjektive abbildung mindestens eine zuordnung hat. aber wie beweise ich das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:31 Uhr, 09.04.2011

Hallo,
wenn man nicht weiss ob eine Aussage wahr ist oder nicht dann kann man versuchen sie zubeweisen oder sie mit einem Gegenbeispiel wiederlegen, oft ist das letztere einfacher, auch hier sollte man so verfahren.

Überlege ob es wirklich für jedes

z \in ℤ

ein

(x, y) \in ℤ \times ℤ

gibt, mit

f (x, y) = z

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01:13 Uhr, 10.04.2011

woher kommt jetzt plötzlich das

z

??? hab leider kein plan was du meinst....sry...kannst dus mir anhand von beispielen ausführlicher zeigen ??? wäre nett...

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09:53 Uhr, 10.04.2011

Liegt das jetzt an den Definitionsbereich der Flächenfunktion ( Kartesisches Produkt ) oder hast du auch Schwierigkeiten mit der Surjektivität?

Könntest du z.b. folgende Funktion auf Surjektivität überprüfen?

f : ℝ \to ℝ, f (x) = 2 x

edit:

Mit eindimensionalem Definitionsbereich beschreibt man ja mit der Funktionsvorschrift

f (x)

den y-Wert, man schreibt:

f (x) = y

Hier hast du ja eine Flächenfunktion deren Definitionsbereich 2-dimensional ist, die Funktionsvorschrift

f (x, y)

hängt jetzt also von 2 Variablen ab und mit ihr beschreibt man jetzt den z-Wert ( auf der z-Koordinate ), man schreibt:

f (x, y) = z

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20:03 Uhr, 10.04.2011

also das 1. mit den reellen zahlen finde ich leicht:

also das rechne ich immer so:

f (x) = 2 x \Leftrightarrow y = 2 x \Leftrightarrow \frac{y}{2} = x

und dann setze ich das

\frac{y}{2} \in f (x)

und wenn da

y = y

rauskommt ist es surjektiv. Also:

f (\frac{y}{2}) = 2 \cdot (\frac{y}{2}) \Leftrightarrow y = y \Rightarrow

abbildung ist surjektiv.

Zur surjektivität kann ich sagen, dass diese funktion/Abbildung surjektiv ist, weil sie mindestens ein x-wert aus dem definitionsbereich einer Zielmenge zugeordnet wird.

wie gesagt, ich weiß nicht wie ich das mit kartesischen produkt, also

f (x, y) = z

formal zeigen kann.

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20:29 Uhr, 10.04.2011

Gut.
Du kannst

f (x, y) = z

einmal nach

x

und einmal nach

y

umstellen und dann kannst du überprüfen ob man so jedes

x \in ℤ

und jedes

y \in ℤ

erhalten würde. Man sieht es hier aber schon vorher, wenn man:

f (x, y) = z = x^{2} + 2 y^{2}

betrachtet. Welche Werte kann denn

z

nicht annehmen?

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20:40 Uhr, 10.04.2011

ja, negative werte kann

z

nicht annehmen.

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20:55 Uhr, 10.04.2011

Genau, es gibt für kein negatives

z_{-} \in ℤ

ein

(x, y) \in ℤ \times ℤ

mit:

z_{-} = f (x, y)

die Funktion ist also nicht surjektiv.
Man hätte auch z.b. nach

y

umstellen können:

y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{z - x^{2}}

hier fällt auf das man z.b. für

z = 3

kein

x \in ℤ

finden kann damit der Wurzelausdruck eine ganze Zahl ist. Es kann ja nur

0, 1

eingesetzt werden.

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21:09 Uhr, 10.04.2011

okay, danke. aber nehmen wir an, aus der funktion hätten wir nicht ableiten können, dass

z

keine neg. werte annehmen kann. dann hätte ich ja folgendermaßen vorgehen sollen:

einmal nach

x

umformen:

z = x^{2} + 2 y^{2} \Leftrightarrow z - 2 y^{2} = x^{2} \Leftrightarrow \sqrt{z} - \sqrt{2} y = x

und dann nach

y

umformen:

z = x^{2} + 2 y^{2} \Leftrightarrow z - x^{2} = 2 y^{2} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{z - x^{2}}{2}} = y \Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{2}} - x = y

und jetzt? muss ich die umgeformten sachen in

f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}

einsetzen?

edit: also ich hab das schon eingesetzt und da kam was ganz komisches raus:

z = {(\sqrt{z} - \sqrt{2} y)}^{2} + 2 {(\sqrt{\frac{z}{2}} - x)}^{2}

musss ich die klammern etwa auch noch auflösen? denn wenn ich sie auflöse kommt kein

z = z

raus, und erkenn ich daran, dass die abbildung nicht surjektiv ist?

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21:32 Uhr, 10.04.2011

Das was du oben gemacht hast war der Nachweis einer Rechtsinversen

(f (g (y)) = y)

. Das ist im mehrdimensionalen nicht mehr so ohne weiteres möglich, da du ja wenn du die Gleichung

f (x, y) = z

nach einer Variablen umstellst, auf der anderen Seite

z

und noch die andere Variable hast, die isolierte Variable hängt nicht nur von

z

ab. Du kannst hier also so nicht mehr vorgehen. Du musst auf die Definitions,- und Wertebereiche achten und gucken ob du so immer alle nötigen Werte erhalten kannst ober nicht. Es gibt also kein allgemeines Verfahren im mehrdimensionalen.

edit:

Du hast die Gleichung falsch umgestellt, ich habe ja auch schon nach

y

umgestellt.

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21:37 Uhr, 10.04.2011

aber du hast doch gesagt/geschrieben, dass ich nach

x

oder

y

umformen kann. also hab ich gedacht, es sei wie bei der 1. aufgabe, wo man

y = y

rausbekommen muss, um zu zeigen, dass es surjektiv ist

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21:40 Uhr, 10.04.2011

Du kannst hier natürlich umformen aber das hat nur den Zweck um zuerkennen das die Funktion eben nicht surjektiv ist, aber wie schon oben geschrieben ist hier keine Umformung nötig um ein Gegenbeispiel zufinden.

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21:44 Uhr, 10.04.2011

also heißt das, dass ich das nicht machen darf? hmmh....jetzt bin ich noch durcheinander....ich dachte man geht genauso vor wie bei der 1.aufgabe mit y=y....mich interessiert eigtl. nur die formale schreibweise von solchen aufgaben...ich brauch immer beispielaufgaben, um sie zu verstehen......und jetzt versteh ich nur noch bahnhof, sry....

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22:05 Uhr, 10.04.2011

Bei

f (x, y) = z

nein.

Die Funktion:

f (x, y) = z = x + y, x, y, z \in ℤ

ist surjektiv, doch wenn ich die obige Methode anwende, erhalte ich:

x = z - y

y = z - x

z = (z - y) + (z - x) = 2 z - x - y

also ein Widerspruch.

Wie erkennt man jetzt ob die Funktion surjektiv ist. Man stellt sich die Frage ob man jedes

z \in ℤ

mit

x + y

beschreiben kann. Das ist natürlich möglich da

x, y

ja auch bel. ganze Zahlen sind und man mit der Addition ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl erhält. Man kann ja auch einfach sagen

y = 0

und es bleibt:

z = x + 0 = x

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22:11 Uhr, 10.04.2011

also muss entweder

x

oder

y

eine 0 sein ?

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22:17 Uhr, 10.04.2011

Nein, keine vom beiden muss Null sein, ich habe einfach

y = 0

gesetzt, damit es noch eindeutiger wird, so hat man eben:

bel. ganze Zahl

= z = x =

bel. ganze Zahl

Du hast ja oben es erst selbst erklärt warum die Funktion die ich gestellt habe surjektiv ist, dann aber hast du es geändert. Hier hast du das gleiche Prinzip nur mit zwei Variablen.

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22:27 Uhr, 10.04.2011

ich weiß mit nur einen variablen, fällt es mir leichter, das ganze zu verstehen....weil ich ganz genau weiß wie ich vorgehen muss....bei 2 variablen hab ich immer noch probleme es zu verstehen, weil mir diese schreibweise

f (x, y)

fremd ist und ich nicht weiß was ich damit genau anfangen soll.

sry, wenn ich dich nerve, aber ich würde gerne noch das bisschen ungeklärte klären, bevor ich mich endlich hinlege...

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22:38 Uhr, 10.04.2011

Ich habe mir schon gedacht das du auch andere Verständnisprobleme hast, da das was wir hier besprechen nicht wirklich schwer ist.

Du weisst also z.b. auch nicht wie man sich die Funktion:

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

geometrisch vorstellen kann? Oder was z.b. die Menge:

{1, 2} \times {3, 4}

bedeutet oder wie man sie in ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnet?

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23:04 Uhr, 10.04.2011

also eigtl. doch. also ich hatte seit langem kein mathebuch mehr in den händen gehalten, wegen zivildienst und so....und jetzt hab ich mich dem informatikstudium angefangen und da werden wir mit solchen sachen konfrontiert.

also das mit dem kartesischen produkt hab ich eigtl. recht gut verstanden. (dachte ich zumindest)....dabei geht es doch nur um geordnete paare von zwei mengen.

also formal ausgedrückt heißt das ja...

A := {a_{1}, a_{2}, a_{3}}

B := {b_{1}, b_{2}}

und wenn man das kreuzt, dann sieht das so aus:

A \times B := {(a_{1}, b_{1}), (a_{1}, b_{2}), (a_{2}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}), (a_{3}, b_{1}), (a_{3}, b_{2})}

d . h

. doch das ich in der zielmenge immer ein n-tupel habe...also kein einfaches

y

mehr....

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23:09 Uhr, 10.04.2011

d.h. doch das ich in der zielmenge immer ein n-tupel habe...also kein einfaches y mehr....

Was genau meinst du damit?

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23:14 Uhr, 10.04.2011

damit meine ich, dass ich nicht so wie in der allerersten abbildung

(s . o)

ein normales

f (x)

habe, sondern

f (x, y),

was mich persönlich seeeeeehhhhhr durcheinander bringt....

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23:27 Uhr, 10.04.2011

Wenn du z.b. eine Funktion

f (x, y)

hast mit:

f : ℕ \times ℕ \to ℕ

dann heisst das, dass die Funktion jedem 2-Tupel

(x, y) \in ℕ \times ℕ

eine natürliche Zahl

z \in ℕ

zuordnet, man könnte auch anolog zu

f (x) = y

dafür schreiben:

f ((x, y)) = z

anstatt

f (x, y) = z

oder stört dich was anderes?

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23:50 Uhr, 10.04.2011

ja, ich versteh eigtl. fast alles, was du schreibst...nur...wenn ich dann solche aufgaben bekomme, weiß ich nicht wie ich das formal aufschreiben soll...das ist der punkt...das mit dem normalen

f (x) = y

hab ich heute gerade noch so verstanden....das man

z . b

. die funktion nach

x

umformen und dann in

f (x)

einsetzen soll, um die surjektivität zu beweisen...und dann kommt plötzlich das f(x,y)....und das

z

...das einzige was ich jetz wirklich dazu gelernt habe (und das liegt best. nicht an dir!) ist, dass

f (x, y) = z

ist....aber wie man zeigen kann, dass ne abbildung, in dem ein kartesisches produkt drinsteckt, beweisen kann...ist mir immer noch ein rätsel...

wenn ich danach google , kommen auch noch irgendwelche dummen seiten zum vorschein, wo die ganze sache mit komischen mathematischen symbolen gezeigt wird...wenn man sich ma die mühe machen würde, das ganze anhand von ganz einfachen beispielen zu erklären, würde es auch jeder verstehen....

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00:14 Uhr, 11.04.2011

Du hast aber verstanden warum deine Funktion nicht surjektiv ist? Das aufzuschreiben ist keine grosse Sache:

Da gilt:

0 \leq z = f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}

gibt es für

z < 0

keine

(x, y) \in ℤ \times ℤ

mit

z = f (x, y)

.

Das wars schon.

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12:00 Uhr, 11.04.2011

hmmh..okay...ne andere frage...wie würde ich denn die abbildung

K \to K x \to x + x + x

auf bijektivität untersuchen? bzw. zeigen, ob sie bijektiv ist?

das ist doch die funktion

f (x) = x + x + x

oder aber auch

f (x) = 3 x .

muss ich das denn wieder nach

x

umstellen? also

\frac{y}{3} = x

. Und jetzt ??

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12:04 Uhr, 11.04.2011

Ja, dann könntest du es ja wieder in die Ausgangsfunktion einsetzen und gucken ob

y = y

gilt. Dadurch hättest du aber nur die Surjektivität nachgewiesen, für die Bijektivität brauchst du noch die Injektivität.

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12:07 Uhr, 11.04.2011

und wie zeige ich die injektivität? also bei der injektivität darf die zielmenge ja höchstens einmal getroffen werden.

d . h

. "höchstens" bedeutet ja entweder einmal oder keinmal. so nun das aufs mathematische zu übersetzen, ist für mich schwierig....

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12:16 Uhr, 11.04.2011

Du musst zeigen das man mit verschiednen x-Werten

x_{1}, x_{2}

auch verschiedene Funktionswerte

f (x_{1}), f (x_{2})

erhält, dafür schreibt man:

x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})

Man setzt also jetzt die zwei verschiedene x-Werte in die Funktion und guckt ob die Funktionswerte auch unterschiedlich sind:

f (x_{1}) = f (x_{2})

\overset{}{\Leftrightarrow} 3 x_{1} = 3 x_{2}

\overset{}{\Leftrightarrow} x_{1} = x_{2}

hier ist das nachweisen ja trivial, denn man sieht ja schon sofort bei der zweiten Gleichung das wenn

x_{1}

und

x_{2}

sich unterscheiden sich dann auch der Funktionswert unterscheidet.

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12:45 Uhr, 11.04.2011

also ist die funktion ja nicht bijektiv...richtig? denn sie ist nicht injektiv, weil ich ja

x_{1} = x_{2}

rausbekommen habe und nicht

x_{1}

ungleich x_2....oder?

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12:48 Uhr, 11.04.2011

Ja, und somit auch bijektiv.

edit:

Die Gleichung:

x_{1} = x_{2}

hat keine Lösung,

x_{1}, x_{2}

sind ja nicht gleich, das habe ich ja vorausgestzt um zu gucken ob die Funktionswerte sich unterscheiden und man konnte die Gleichung:

f (x_{1}) = f (x_{2})

durch äquivalentes Umformen ( Lösungsmenge der Gleicuhng ändert sich nicht ) auf die Gleichung:

x_{1} = x_{2}

zurückführen und diese, wie schon erwähnt hat keine Lösung wenn

x_{1}, x_{2}

unterschiedlich sind, deshalb unterschieden sich auch immer die Funktionswerte

f (x_{1}), f (x_{2})

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13:01 Uhr, 11.04.2011

ach so...und weil da keine lösung rauskam ist es also injektiv....und surjektiv

+

injektiv = bijektiv....okay, danke....

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13:01 Uhr, 11.04.2011

Genau.

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