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Surjektivität von cosh beweisen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Kosinus Hyperbolicus, surjektivität

lilalinda06 aktiv_icon

23:38 Uhr, 25.02.2012

Hallo, ich soll beweisen, dass

cosh

surjektiv ist.
Mein Ansatz:

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Das will ich jetzt nach

x

auflösen. Allerdings stolpere ich da über ein Problem mit dem Logarithmus.
Ich bin soweit:

2 y = e^{x} + e^{- x}

Dann logarithmieren

log (2 y) = log (e^{x} + e^{- x})

und da liegt jetzt mein Problem.

ist das dann:

log (2 y) = x - x

?

Das wäre ja schlecht, weil dann könnte ich ja nicht nach

x

auflösen.
Ich glaube nicht, dass das stimmt, aber ich weiß auch nicht, wie es richtig gehört...
Danke schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Bummerang

23:48 Uhr, 25.02.2012

Hallo,

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} | \cdot 2

2 \cdot y = e^{x} + e^{- x} | \cdot e^{x}

2 \cdot y \cdot e^{x} = {(e^{x})}^{2} + 1 | - 2 \cdot y \cdot e^{x}

0 = {(e^{x})}^{2} - 2 \cdot y \cdot e^{x} + 1

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung in

e^{x}

sind:

e^{x_{1,2}} = y \pm \sqrt{y^{2} - 1} |

logarithmieren

x_{1,2} = ln (y \pm \sqrt{y^{2} - 1})

hagman aktiv_icon

23:49 Uhr, 25.02.2012

Erstens: So kann man nicht mit Logarithmen umgehen.
Zweitens: Um Surjektivität nachzuweisen, braucht man nicht unbedingt eine Umkehrfunktion elementar anzugeben
Drittens: Bist du sicher, dass

cosh : ℝ \to ℝ

surjektiv ist?

lilalinda06 aktiv_icon

00:04 Uhr, 26.02.2012

Also laut Aufgabe gibt es eine Umkehrfunktion arccosh(x)

= log (y + \sqrt{y^{2} - 1})

Daraus folgt, dass

cosh

bijektiv ist also auch surjektiv. Aber ich weiß eben nicht, wie ich das beweisen soll. Ich soll die Existenz von arccosh begründen, eben durch Bijektivität. Da ich arccosh später eh herleiten muss, wäre es also keine unnötige Arbeit, aber ich will das ja generell und nciht nur für diese Aufgabe wissen, finde aber nirgends eine richtige Erklärung...
Meintest du mich mit dem logarithmieren?

PhysMaddin aktiv_icon

12:34 Uhr, 26.02.2012

Also, hagman meinte wohl Dich, da Log(a+b) !=loga+logb

Zum anderen

Surjektiv:

\forall y \in ℝ

(Bildmenge) gilt

\exists x \in ℝ

(Urbildmenge) so, dass

f (x) = y

f ⊙ g

ist surjektiv, wenn

f

surjektiv ist
hier ist die Verknüpfung das

+

Zeichen, reichte also zu zeigen

y = f (x) = \frac{1}{2} e^{x}

bzw.

y = g (x) = \frac{1}{2} e^{- x}

wäre surjektiv.

Da

y

aber nur positve Werte annehmen kann, ist weder

f, g

noch

cosh (x)

surjektiv auf

ℝ,

sondern surjektiv nur auf

ℝ^{+} = {y \in ℝ | y > 0}

Hier existiert die Umkehrfunktion

ln (2 y) = x

bzw

- ln (2 y) = x

sprich

m (x) : ℝ \to ℝ^{+}

mit

m (x) = cosh (x)

ist surjektiv

Shipwater aktiv_icon

13:24 Uhr, 26.02.2012

Das stimmt nicht PhysMaddin. Erst

f : ℝ \to ℝ_{\geq 1}, x \mapsto cosh (x)

ist surjektiv.
Das Schaubild von

f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

ist zunächst mal achsensymmetrisch zur y-Achse, da

f (- x) = f (x)

. Desweiteren gilt

f (0) = 1

und

f' (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \geq 0

für

x \geq 0

sowie

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

. Die Wertemenge ist also letztlich

[1, \infty)

wegen Stetigkeit/Zwischenwertsatz.

PhysMaddin aktiv_icon

15:20 Uhr, 26.02.2012

mmmh, also Shipwater, Du meinst also

f (x) = e^{x}

ist nicht surjektiv auf der Bildmenge

ℝ^{+}

oder wie darf ich das verstehen?
Für

f (x) = e^{x}

\forall y \in ℝ^{+} \exists x \in ℝ

mit

y = e^{x}

Eine Verknüpfung

f ⊙ g

ist surhektiv, wenn

f

surjektiv ist, oder nicht?

Bitte erkläre mir das mal :-)

Shipwater aktiv_icon

15:23 Uhr, 26.02.2012

Ich meinte, dass

m : ℝ \to ℝ^{+}, x \mapsto cosh (x)

nicht surjektiv ist.

f \circ g

bezeichnet doch eine Verkettung/Komposition (nicht Addition)

PhysMaddin aktiv_icon

15:29 Uhr, 26.02.2012

Dann sehe ich Deinen Punkt nicht, denn
Du schreibst

f:ℝ→ℝ≥1, x↦cosh(x) ist surjektiv.

Ich habe geschrieben

m (x) : ℝ \to ℝ^{+}

mit

m (x) = cosh (x)

(ℝ^{+}

alle

x > 0

und

\in ℝ)

Vielleicht ist das Missverständnis nur auf meine Notation zurückzuführen. :-)

Shipwater aktiv_icon

15:32 Uhr, 26.02.2012

cosh (x)

nimmt nicht alle Werte aus

(0, \infty)

an.

PhysMaddin aktiv_icon

16:16 Uhr, 26.02.2012

Da hast Du Recht :-)

Shipwater aktiv_icon

16:30 Uhr, 26.02.2012

Also ist dir jetzt klar, dass

m : ℝ \to ℝ^{+}, x \mapsto cosh (x)

nicht surjektiv ist?

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