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Surjektivität(injektivität) von Abbildungen prüfen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Mengentheoretische Topologie

Tags: Abbildung, Beweisführung, mengen, Sonstig

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18:10 Uhr, 17.10.2021

Überprüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen surjektiv beziehungsweise injektiv sind:
(a)

f :

R³→ R²,

(x, y, z)

7→

(x + y, x + z + y)

(b)

f :

R²→ R³,

(x, y)

7→

(x, x + y, x

−

y)

Guten Abend, für Aufgabe a habe ich einfach verschieden 2 Elemente gefunden die auf das gleiche Element von R² abbilden, was ja schon zeigt das die Abbildung von Aufgabe a nicht injektiv ist.

(0, 0, 0) \to (0 + 0,0 + 0 + 0) = (0,0)

(1, - 1,0) \to (1 - 1,1 + 0 - 1) = (0,0) \to

ist nicht injektiv

Um eine surjektivität zu zeigen hab ich bei der Aufgabe a folgendes gemacht:

a∈R² b∈R²

a = x + y

b = x + z + y

Diese dann voneinander abgezogen und umgeformt um jeweils eine Möglichkeit zu finden die Elemente des Urbilds bestimmen zu können was auch für jeden eingesetzten Wert für die Elemente a und

b

funktioniert hat.

z = b - a

x = y - a

y = a - x

Reicht dies um zu zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist?

Mit der Aufgabe

b

hab ich mich noch nicht befasst.
Was injektiv und surjektiv bedeutet ist mir eigentlich schon bewusst geworden, aber was ich mit den gegebenen Abbildung machen kann um diese Eigenschaften zu prüfen noch nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe ich freue mich über jegliche Form egal ob es eine Lösung oder nur ein ein Anreiz zum selber lösen ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)