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Sylowgruppe, Ordnung von Elementen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Normalteiler, Ordnung, Sylow, Sylowgruppen, Untergruppen
 
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Halli Hallo! Kann mir jemand mal sagen ob meine Gedankengänge so richtig sind mit der Element- und zugehörigen Gruppenordnung: Aufgabe "Untersuche die Gruppe der Ordnung 68" Es gibt sicher eine 17-Sylowgruppe, diese enthält ein Element der Ordnung 1 (e) und 16 Elemente der Ordnung 17 (da die Elementordnung die Gruppenordnung teilen muss). Damit habe ich noch 68-16 Elemente übrig für meine 2-Sylowgruppen. Davon gibt es entweder eine oder siebzehn. Die 2-Sylowgruppen haben aber Ordnung 4 (d.h. besteht aus Elementen der Ordnung 1 (e), der Ordnung 2 und 4), wir haben nach Bilden der 17-Sylowgruppe nur noch 68-16=52 Elemente für die 2-Sylowgruppen übrig. Siebzehn 2-Sylowgruppen der Ordnung 4 bräuchten neben e noch 51 Elemente. D.h. es wäre beides möglich: Eine oder 17 2-Sylowgruppen. Stimmen das so? :-) Liebe Grüße! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich finde, dass du richtig gezählt hast. Dass es 17 2-Sylowgruppen geben kann, ist ja "gefühlsmäßig" eher unwahrscheinlich, aber wer weiß ... Sei die einzige -Sylowgruppe. Da alle -Sylowgruppen zu einander konjugiert sind, ist damit ein Normalteiler. Wenn nun eine 2-Sylowgruppe ist, folgt aus "bekannten" Sätzen der Gruppentheorie, dass eine Untergruppe von ist. Man überlegt sich leicht, dass sogar gelten muss aufgrund der Gruppenordnungen. Ferner ist , d.h. ist semidirektes Produkt aus und . Vielleicht kann man damit etwas anfangen? Gruß ermanus |
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