Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Sylowgruppen

Sylowgruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Didgeridoo aktiv_icon

19:46 Uhr, 27.01.2012

Ich habe eine Aufgabe im Buch gefunden, bei der mir die Lösung nicht logisch erscheint...
Die Aufgabe lautet: Wie viele 2-Sylowuntergruppen beisitzt die Permutationsgruppe

S_{5}

und die Lösung wäre: 15
Aber

S_{5} = 120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

Falls nun

s_{2} = 15

und die Ordnung der 2-Sylowuntergruppe 8 beträgt, so folgt doch

8 \cdot 15 - 14 = 106

inklusive dem neutralen Element. Der Rest wäre dann 14. Aber wir wissen ja auch, dass

s_{3} \in {1, 4, 10, 40}

s_{5} \in {1, 6}

. Aber

2 k + 4 l \neq 14

\forall k, l

mit

k \in {1, 4, 10, 40}

und

l \in {1, 6}

... Ich bin ratlos. Wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank schon im Voraus!
LG Didgi

HP7289 aktiv_icon

20:23 Uhr, 27.01.2012

Die 2-Sylowgruppen müssen nicht disjunkt sein, daher kannst du nicht einfach 7 Elemente für jede 2-Sylowgruppe aufsummieren.

Didgeridoo aktiv_icon

21:49 Uhr, 27.01.2012

Ach so... ja, ich habe auch nicht behauptet, dass sie disjunkt sind, habe nur behauptet, dass sie bis auf das neutrale Element disjunkt sind. Aber stimmt das auch nicht?

Didgeridoo aktiv_icon

21:55 Uhr, 27.01.2012

Was kann ich dann überhaupt noch als Argument verwenden, wieso

s_{2} = 15

HP7289 aktiv_icon

11:14 Uhr, 28.01.2012

Ich meinte natürlich nicht disjunkt, sondern dass der Schnitt nicht trivial sein muss. ;-)

Die

S_{5}

kennt man ja ziemlich gut. Nach 3. Sylowsatz gilt:

s_{2}

ungerade und

s_{2} | 15

\Rightarrow s_{2} \in {1,3,5,15}

.

Es ist also tatsächlich ausreichend, 6 verschiedene Gruppen der Ordnung 8 zu konstruieren, um

s_{2} = 15

zu zeigen.

hagman aktiv_icon

11:16 Uhr, 28.01.2012

Die Sylowsätze:
Wenn

| G | = p^{r} \cdot m

mit

m

teilerfremd zur Primzahl

p,

dann hat jede p-Sylowgruppe die Ordnung

p^{r}

und die Anzahl der p-Sylowgruppen ist Teiler von

m

und zudem kongruent zu

1 (mod p)

Außerdem ist jedes Element von p-Potenzordnung in einer p-Sylowgruppe enthalten.

Hier also:
Die Anzahl der 2-Sylowgruppen ist Teiler von

15

und ungerade. Das schließt noch nicht viel aus, denn demnach könnte es

1, 3, 5

oder

15

2-Sylowgruppen geben.
Im einzelnen gibt es in der

S_{5}

1 Element der Ordnung 1

10

Elemente der Form

(a b)

15

Elemente der Form

(a b) (c d)

30

Elemente der Form

(a b c d)

= 56

Elemente in der mengentheoretischen Vereingung aller 2-Sylowgruppen
Wenn es 5 oder weniger 2-Sylowgruppen wären, so lieferten diese zusammen maximal

5 \cdot (2^{3} - 1) + 1 = 36

Gruppenelemente von Zweirepotenzordnung. Also muss es genau

15

2-Sylowgruppen geben.

-

In anderen Fällen kann man die Anzahl der p-Sylowgruppen möglicherweise noch genauer durch Untersuchung der Operation von

G

auf der Menge der Sylowgruppen (durch Konjugation) herausfinden.

Didgeridoo aktiv_icon

15:58 Uhr, 28.01.2012

Vielen herzlichen Dank für die Erklärungen. Da wird mir schon einiges klarer. Super! Danke :-)

968293

968147

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?