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Sylowuntergruppen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Sylow-Sätze
 
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Servus, ich bräuchte einen Gedankenschubs hierbei: Es geht um a) die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von und b) welchen Untergruppen der Ikosaedergruppe diese entsprechen. a) Naja die Anzahl teilt und ist kongruent 1 modulo 5. In der Endauswahl bleiben also 1 und 6. b) selbst ist die Drehgruppe eines Ikosaeders laut Wikipedia: "Die 30 Kanten des Ikosaeders zerfallen in 5 Klassen paralleler Kanten, wobei jede dieser Klasse 6 parallele Kanten enthält." Also kann als die Menge der Permutationen der 5 Kantenklassen interpretiert werden. Mit fällt es aber schwer in einem Ikosaeder überhaupt zwei parallele Kanten auszumachen... Freue mich über jede Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, wäre die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen gleich 1, dann gäbe es ja nur die eine 5-Sylowuntergruppe. Diese wäre dann ein Normalteiler von . Damit wäre aber nicht mehr einfach. Vielleicht kann man das verwenden?! (Die Tatsache, dass einfach ist.) Zu > Mit fällt es aber schwer in einem Ikosaeder überhaupt zwei parallele Kanten auszumachen... de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder#/media/Datei:Icosahedron-golden-rectangles.svg Mfg Michael |
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Zunächstmal danke! Ich weiß gar nicht, ob wir benutzen dürfen, dass einfach ist. Ehrlich gesagt hatten wir noch gar nichts groß über oder in der Vorlesung. Ich hatte erst probiert, zwei 5-elementige Untergruppen von zu finden, bisher habe ich aber erst entdeckt xD Danke für die Graphik. Hm, also z.B. die beiden roten Seiten des lila Rechtecks sind parallel. Laut Wiki müssten da aber noch 4 weitere parallele Strecken sein... Ich seh keine xD |
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Hallo, na gut, und was ist mit ? Nachweis, dass auch dies Element Ordnung 5 hat?! Nachweis, dass dies Element nicht in der von dir genannten Untergruppe enthalten ist?! Mfg Michael |
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Danke, stimmt! ! Ich habe noch folgende Graphik gefunden. Das sollen sämtliche Drehungen sein. "Die 30 Kanten bestimmen 15 Rotationsachsen durch die Mittelpunkte von Paaren gegenüberliegender Kanten, und um jede Achse ist eine Rotation um 180° möglich." Ah okay. Also verläuft eine Rotationsachse durch die Mittelpunkte der roten Seiten des lila Rechtecks?   |
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