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Symmetrieebenen zweier Ebenen im R3

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Vektorräume

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Trook aktiv_icon

09:43 Uhr, 28.03.2014

Hallo liebe Mathe Freunde!
Kennt jemand einen anderen/einfacheren Weg um das Beispiel aus dem Bild zu lösen?
Meine Lösung ist zwar richtig, aber der Weg dort hin wahrscheinlich etwas umständlich, oder?

Mein Prof. meinte mit die Hessesche Normalform könnte vlt. helfen, die beherrscht ich aber noch nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

09:54 Uhr, 28.03.2014

Jeder Punkt der Symmetrieebene(n) hat von den gegebenen Ebenen den gleichen Abstand.
Bilde von beiden Ebenen die HNF:

ε_{1} : \frac{2 \cdot x + 3 \cdot y - 6 \cdot z - 4}{\sqrt{49}} = 0

ε_{2} : \frac{4 \cdot x - 7 \cdot y + 4 \cdot z - 6}{\sqrt{81}} = 0

Gleichung der Symmetriebene(n)

s : \frac{2 \cdot x + 3 \cdot y - 6 \cdot z - 4}{\sqrt{49}} \pm \frac{4 \cdot x - 7 \cdot y + 4 \cdot z - 6}{\sqrt{81}} = 0

DrBoogie aktiv_icon

09:56 Uhr, 28.03.2014

Hessesche Normalform ist sehr einfach.
Die Ausgangsgleichungen wie z.B.

2 x + 3 y - 6 z = 4

sind schon fast die hessesche Normalform, denn die Normale zu dieser Ebene ist

a * (2, 3, - 6)

mit passendem

a

(so dass die Länge der Normale =1 ist, also in diesem Fall

a = 1 / \sqrt{4 + 9 + 36}

). Wenn man die Gleichung

2 x + 3 y - 6 z = 4

mit diesem

a

multipliziert, wird's dann schon die hessesche Normalform.

Wozu diese Form gut sein kann - man kann direkt mit Normalen arbeiten. Und man kann die Normale der Symmetrieebene finden, wenn man die Normalen der Ausgangsebenen nimmt und mit ihnen das Richtige macht. ;-)

Respon

10:02 Uhr, 28.03.2014

Allgemein sieht die Hessesche Normalform so aus:
Lautet unsere Ausgangsgleichung

a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d

so sieht die Hessesche Normalform so aus:

\frac{a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 0

Setze ich nun die Koordinaten eines Punktes außerhalb der Ebene für

x, y

und

z

ein, so erhalte ich den Abstand des Punktes von der Ebene.
Das

\pm

ergibt sich, da der Abstand sowohl positiv als auch negativ sein kann ( je nachdem ob Punkt und Ursprung auf gleicher oder verschiedener Seite liegen )

Probiers mal !

Trook aktiv_icon

11:47 Uhr, 28.03.2014

Ooohhh, da frag ich mich warum wir die HNF nicht gleich mitgemacht haben. Ist ja gar nicht so kompliziert wie ich es mir vorgstellt habe und noch dazu wirklich sehr praktisch!
Dank an Hesse und natürlich vielen Dank für eure Antworten :-)

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