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Symmetrieeigenschaften der Potenzfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: achsensymmetrisch, Graphen, Punktsymmetrisch, y-Achse

Omied aktiv_icon

14:45 Uhr, 24.09.2008

Ich brauche dringend Hilfe bei meinen Hausaufgaben. Da wir dieses Thema frisch angefangen haben, kenne ich mich noch nicht so gut aus. Wäre toll, wenn man mir die Lösung und den Weg dieser Aufgaben schreiben könnte.

Untersuchen sie rechnerisch, ob der Graph von

f

achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

a) f (x) = x^{7} [x

hoch

7]

b) f (x) = x^{6} [x

hoch

6]

c) f (x) = 3 x^{9} [3 x

hoch

9]

d) f (x) = x^{5} + 1 [x

hoch 5 plus

1]

e) f (x) = x^{5} + 2 x [x

hoch 5 plus

2 x]

Wäre wirklich toll, wenn ihr mir helfen koenntet.

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Sams83 aktiv_icon

15:13 Uhr, 24.09.2008

Hallo,
hast du die Seite, die du so schön aus deinem Buch herauskopiert hast, gelesen? Dort steht eigentlich alles drin, was du brauchst, sogar mit Beispielen!!!

Um auf Achsensymmetrie zu überprüfen, musst du statt

x

ein

- x

in die Funktion einsetzen, wenn dann wieder dieselbe ursprüngliche Funktion herauskommt,also

f (x) = f (- x)

ist die Funktion achsensymmetrisch.
Beispiel:

f (x) =

5x^4+3x²+7
dann ist

f (- x) =

5(-x)^4+3(-x)²+7
Weil aber

{(- x)}^{4} = x^{4}

und (-x)²= x², kann man umformen:
f(-x)=5x^4+3x²+7
Das ist dann wieder genau gleich

f (x),

also gilt

f (x) = f (- x),

die Funktion ist also achsensymmetrisch.

Genauso funktioniert es mit der Punktsymmetrie zum Ursprung. Hier muss allerdings

f (x) = - f (- x)

gelten. Man bildet also den Ausdruck

- f (- x)

und schaut, ob dann

f (x)

herauskommt. Ist dies der Fall ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel:

f (x) =

x^7+4x³-2x
Dann ist
-f(-x)=-((-x)^7+4(-x)³-2(-x))
=-(-x^7-4x³+2x)
=x^7+4x³-2x

Dies ist wieder genau die Anfangsfunktion, es gilt also

- f (- x) = f (x),

damit ist die Funktion punktsymmetrisch.

Wenn für die Funktion keine der beiden Bedingungen gilt, liegt keine Symmetrie vor.

Omied aktiv_icon

15:20 Uhr, 24.09.2008

Was käme dann zum Beispiel bei

f (x) = x^{7}

raus? ''Bitte nicht wundern, ich bin meiserabel in Mathe xD'' Könnte es mir jemand an der ersten Aufgabe erklären?

: s

Markus91 aktiv_icon

15:26 Uhr, 24.09.2008

Rechnerisch.. Geht doch viel einfacher nur so als Tipp^^

Alle Potenzen Gerade---> Symmetrie zur Y-achse
Alle Potenzen Ungerade

- \to

Symmetrie zum Ursprung
Keines der beiden

- \to

Keine Symmeterie

Sams83 aktiv_icon

15:32 Uhr, 24.09.2008

Genau, der Tipp von Markus funktioniert gut, jedoch geht es ja hier explizit darum, das rechnerisch zu zeigen (wohl damit versteht, warum der Tipp so funktioniert):

Für dein erstes Beispiel:

f (x) = x^{7}

Überprüfe auf Achsensymmetrie:
Bilde

f (- x)

f (- x) = {(- x)}^{7} = - x^{7}

f (x)

ungleich

f (- x),

also keine Achsensymmetrie

Überprüfe auf Punktsymmetrie:
Bilde

- f (- x)

- f (- x) = - {(- x)}^{7} = - (- x^{7}) = x^{7}

f (x) = - f (- x),

also Punktsymmetrie

Omied aktiv_icon

15:19 Uhr, 25.09.2008

Jahu! Ich habe es geschnallt, danke!

= D

tuschka aktiv_icon

16:57 Uhr, 25.11.2009

hey habe gerade festgestellt, dass ich die gleiche Aufgaben lösen muss. Finde das auch nicht so schwer, nur haben wir das noch nicht genau durchgenommen und sollen uns erstmal selber damit befassen. Meine Frage ist jetzt, wie löse ich das rechnerisch wenn da nicht nur ein xund eine hochzahl steht, sonder noch eine zahl davor bzw. danach... also:

f (x) = 3 x^{9}

f (x) = x^{5} + 1

f (x) = x^{5} + 2 x

Sams83 aktiv_icon

16:34 Uhr, 26.11.2009

Hallo,

du kannst oben in meinen Beispielen sehen, wie's geht.

Du musst einfach nur alle

x

durch

- x

ersetzen, um auf Achsensymmetrie zu überprüfen. Vorfaktoren bleiben einfach stehen

In Deinem ersten Fall

f (- x) = 3 {(- x)}^{9} = - 3 \cdot x^{9}

ist ungleich

f (x) = 3 x^{9},

also nicht achsensymmetrisch

- f (- x) = - (- 3 \cdot x^{9}) = 3 \cdot x^{9}

ist gleich

f (x),

also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Alles klar?

tuschka aktiv_icon

16:49 Uhr, 26.11.2009

ahh ja jetzt hab ichs :) super!

danke :)

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