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Symmetriegruppe des Dreiecks
Universität / Fachhochschule
Tags: Geometrische Überlegung
 
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Ihr Lieben, ich bräuchte einmal eure Hilfe! Ich war wirklich dankbar für Gedenkanstöße und Hilfeleistungen!! Vielen Dank! Es sei S3 := {f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}} die Menge aller Bijektionen der Menge {1, 2, 3}. Die sechs Elemente dieser Menge können als die verschiedenen Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks interpretiert werden. Hierbei spielen Symmetrien eine Rolle. Sie dürfen als bekannt voraussetzen, dass S3 bzgl. der Komposition von Abbildungen eine nicht-kommutative reguläre Halbgruppe bildet. (a) Zeigen Sie: (S3 , ◦) ist eine Gruppe. Aufgrund der oben angsprochenen Symmetrie wird sie die Symmetriegruppe des Dreiecks genannt. Berechnen Sie folgende Ausdrücke und überlegen Sie sich jeweils, wie die Rechnung geometrisch zu interpretieren ist: i. 132 ◦ 213 ii. 132 ◦ 132 iii. 231⁻¹ Es sei wie in oben angegeben (S3 , ◦) die Symmetriegruppe des Dreiecks. Folgende Abbildungen seien gegeben: σ := 132 und τ := 312 (a) Welchen Kongruenzabbildungen des Dreiecks entsprechen σ und τ ? (b) Lösen Sie folgende Gleichungen in den Unbekannten f, g und h: i. σ ◦ f = τ , ii. g ◦ σ = τ , iii. τ ◦ h = id{1,2,3} Was fällt Ihnen beim Vergleich der L ösung von i. und ii. auf? Wie erklärt sich das? UNd wie würde eine vollständige Verknüpfüngstafel für (S3 , ◦) aussehen? |
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Hallo, du scheinst, eine ganze Aufgabe gepostet zu haben. Üblicherweise werden die dir hier nicht vorgerechnet (von Ausnahmen einmal abgesehen). Daher stellt sich die Frage, ob du irgend ein Verständnisproblem hast, bei dessen Beseitigung wir hilfreich sein können? Also etwa zu a): Du sollst nachweisen, dass eine reguläre Halbgruppe eine Gruppe ist. Wo liegt da das Problem? Mfg Michael |
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