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Symmetriegruppe eines n-Ecks

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

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14:05 Uhr, 25.10.2011

Hallo Leute,

ich sitze gerade an meinem ersten Übungsblatt an der Uni und komme bei der letzten Aufgabe nicht weiter. Um ehrlich zu sein, verstehe ich schonmal die Aufgabenstellung nicht.

Erstmal soll ich eine Verknüpfungstafel erstellen und anschließend beweisen, dass es eine Gruppe ist.

Meine Fragen dazu:

1. Was bringt mir

D_{n}

? Wenn ich für das Quadrat also

n = 4

setze, wie verändern sich

{τ_{0}, τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}, s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}}

?

2. Was bringt mir die Aussage

k \in {0,1,2,3}

? Muss ich die irgendwie nacheinander einsetzen um auf die Winkel zu kommen?

3. Was heißt "'x-Achse'

ℝ \times {0}

"

4. Und was genau muss ich verknüpfen und mit welcher Rechenoperation?

5. Wie man eine Gruppe nachweist ist mir klar. Man prüft Assoziativität, ob es ein inverses Element und ein neutrales Element gibt. Aber anhand welcher Bedingungen für diese Aufgabe?

Fragen über Fragen und ich steige nicht durch, ich hoffe jemand kann sich erbarmen und mir etwas auf die Sprünge helfen. Sobald ich das Prinzip verstanden habe, würde ich mich selber um die Aufgabe kümmern und meine Lösung hier reinschreiben.

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:10 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

zu 1.: Bitte frage nicht mehr, was dir das eine oder andere mathematische Objekt "bringt". Es ist (mehr oder weniger) interessant. Man kann daran seine mathematischen Fähigkeiten erproben und (hoffentlich) verbessern. Für die Wirtschaft und den Weltfrieden bringt

D_{n}

nichts. Wenn du aber nur daran interessiert bist, mach was anderes!
Den zweiten Teil der Frage verstehe ich nicht. In deiner Quelle kommen

τ_{i}

nicht vor.

zu 2.: Ja, du musst der Reihe nach für

k

die Werte einsetzen.

zu 3.: Gib mal ein paar Punkte im

ℝ^{2}

an, die auf der

x

-Achse liegen, dann sehen wir vielleicht weiter!

zu 4.:
>

D_{n}

bezeichne [...] die Menge der Rotationen und Achsenspiegelungen der Ebene

ℝ^{2}

,
> welche das

n

-Eck wieder in sich überführen und der Hintereinanderausführung von Abbildungen
> als Verknüpfung.

Da steht alles drin, was zur eigenen Beantwortung der Frage 4. nötig ist. Lies noch mal aufmerksam!

zu 5.: Hm, anhand der Elemente von

D_{4}

. Welche das sind, bzw. was ich darunter zu verstehen hab, steht doch im Text.

Mfg Michael

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16:57 Uhr, 25.10.2011

3. Einige Punkte, die auf der X-Achse liegen sind

(0 | 0)

bzw.

(1 | 0),

also der y-Wert ist immer 0.

4. Ich versuchs mal in meinen Worten wiederzugeben. Also

D_{n}

enthält einmal Rotationen um den Punkt

(0 | 0)

mit dem Winkel

k \frac{π}{2},

die die Ecken des Quadrats rotieren lassen und einmal Spiegelungen, die diese rotierten Punkte an der Geraden, die in dem Winkel

k \frac{π}{4}

zur x-Achse steht spiegeln. Das heißt von der Logik her müsste ich

k \frac{π}{2}

und

k \frac{π}{4}

durch eine Multiplikation verknüpfen und dieses Produkt

(\frac{k^{2} π^{2}}{8})

mit den Eckpunkten des Quadrats verknüpfen. Das heißt ich müsste 2 Tabellen erstellen, um einmal die x-Werte und einmal die y-Werte der Punkte zu verknüpfen.

Verstehe ich das richtig oder liege ich total falsch?

michaL aktiv_icon

17:30 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

zu 3.: Und genau das soll durch die Schreibweise

ℝ \times {0}

zum Ausdruck gebracht werden. Bei kartesichen Mengenprodukten erhält man als Elemente immer Paare. Und bei diesen soll die zweite Komponente immer 0 sein. Voilà:

x

-Achse.

Bei 4. liegst du total daneben.

Bleiben wir mal bei der

D_{4}

. Die Menge (von der du dann zeigen sollst, dass sie eine Gruppe bildet) enthält als Elemente Abbildungen! Welche z.b.?

Wenn du die Ecken eines Quadrates wie folgt numerierst:

1 2

4 3

dann kannst du typische Abbildungen angeben, die sich in der

D_{4}

befinden sollen, indem man angibt, welche Ecke auf welche andere abgebildet werden soll.
Etwa die identische Abbildung (oben die Urbilder, unten die Bilder):

id = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array})

Eine weitere ist die Drehung um 270° (Achtung, Winkel ist gegen die positive

x

-Achse IM Uhrzeigersinn zu messen):

r_{3} = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{array})

Eine andere ist die Spiegelung an der

y

-Achse:

s_{2} = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{array})

Wie gesagt, Abbildungen sind die Elemente. Diese (Abbildungen) können hintereinander ausgeführt werden. (Daher bekommst du mit dieser Bemerkung die Gültigkeit des Assoziativgesetzes geschenkt. Das gilt nämlich immer für die Hintereinanderausführung von Abbildungen! War bestimmt auch schon in der Vorlesung dran.)

Mfg Michael

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17:47 Uhr, 25.10.2011

Ok, das hab ich verstanden, aber was bedeutet das für meine Verknüpfungstafel? Wie würde die denn aussehen? Irgendwie muss ich die Eckpunkte von dem Quadrat doch berücksichtigen oder?

michaL aktiv_icon

17:55 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

hm, du stellst dich ein bisschen an, oder?

Dir obliegt es, erst einmal ALLE Elemente so aufzuschreiben, wie ich das begonnen habe. Dir hilft in diesem Zusammenhang sicher ein Blatt Papier zum Schmieren.

Dann musst du dich fragen, welche Abbildung man erhält, wenn du z.b. die Verknüpfung

s_{2} \circ r_{3}

ausführst. Dazu musst du aber alle Abbildungen erst einmal "näher kennenlernen". SOnst kannst du sie ja nicht wiedererkennen, oder?

Mfg Michael

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18:09 Uhr, 25.10.2011

Jetzt begreife ich erst, was du meinst, habe erst nicht verstanden, warum ausgerechnet

r_{3}

das ganze um 270° dreht. Du hast bei

k \frac{π}{2}

eingesetzt

k = 3,

das wären dann

\frac{3}{2} π

und das sind eben die 270°.

Bei

s_{2}

hast du eben für

k = 2

einsetzt und kamst auf

\frac{1}{2} π,

sprich 90° und die Linie, die 90° zur x-Achse liegt, ist die y-Achse und daran wird das ganze gespiegelt, korrekt oder?

Was ist aber, wenn ich

k = 0

einsetze? Dann passiert doch eigentlich gar nichts oder?

michaL aktiv_icon

18:23 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

bis auf das letzte korrekt. Im Text ("Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.", fühle ich mich mittlerweile genötigt zu tippen.) steht doch, was unter den

s_{k}

verstanden werden soll:
> [...]

s_{k}

die SPIEGELUNGEN an der Geraden, die mit der '

x

-Achse' [...] von der

x

-Achse aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn den Winkel von

k π / 4

einschließt. [...]

Wichtig ist tatsächlich, erst einmal alles zu durchdringen. Das hast du noch nicht ganz getan (aber darum fragst du ja auch).

Hat das geholfen?

Mfg Michael

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19:01 Uhr, 25.10.2011

Ja, das hilft mir sogar sehr, um überhaupt die Aufgabe zu verstehen.

Ich hab das ganze jetzt mal für die Rotation gemacht, komme da auf folgendes:

r_{0} = (\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \frac{4}{4})

r_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{1})

r_{2} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{1}, \frac{4}{2})

r_{3} = (\frac{1}{4}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3})

Ich hab keine Ahnung, wie man die große Klammer macht, deswegen hab ichs mal so geschrieben, hoffe man versteht es. Das Unterscheidet sich von deinem, aber wenn ich im Uhrzeigersinn bei

r_{1} z . B

. um die 90° drehe, dann wird doch die 2 auf die 3 abgebildet, die 3 auf die 4 usw. Also müsste das doch stimmen oder?

Für die

s

hab ich folgendes:

s_{0} = (\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \frac{4}{4})

s_{1} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}, \frac{4}{4})

s_{2} = (\frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3})

s_{3} = (\frac{1}{1}, \frac{2}{4}, \frac{3}{3}, \frac{4}{2})

Ist das korrekt? Und wie geht es weiter?

Ich könnte mir vorstellen, dass ich das ganze als Zyklen aufschreiben muss und dann damit eine Tabelle erstelle oder?

michaL aktiv_icon

20:05 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

bei den Rotationen hast du vermutlich IM Uhrzeigersinn gedreht, nicht DAGEGEN. Den Fehler habe ich auch gemacht. Ansonsten sieht die Sache jetzt ganz gut aus.

Ich würde mich mit einer einfachen Skizze (Quadrat mit numerierten Ecken), einer Liste der Abbildungen mit deren Namen und einem Schmierpapier da hinsetzen und folgende Schemate für EINE Verknüpfung aufschreiben:

1 \overset{r_{1}}{\overset{}{\to}} \dots \overset{r_{2}}{\overset{}{\to}} \dots

2 \overset{r_{1}}{\overset{}{\to}} \dots \overset{r_{2}}{\overset{}{\to}} \dots

3 \overset{r_{1}}{\overset{}{\to}} \dots \overset{r_{2}}{\overset{}{\to}} \dots

4 \overset{r_{1}}{\overset{}{\to}} \dots \overset{r_{2}}{\overset{}{\to}} \dots

(Natürlich musst du die Punkte selber füllen.)

Die mittlere Spalte ist nicht so wichtig, sie ist ja nur zum Füllen der letzten Spalte notwendig. Anhand dieser beiden Spalten identifizierst du, welche Abbildung die Verknüpfung nun ist (hier:

r_{2} \circ r_{1} = r_{3}

).

Am besten legst du dir gleich eine Tabelle der Art

\begin{array}{ccccccccc} \circ & r_{0} & r_{1} & r_{2} & r_{3} & s_{0} & s_{1} & s_{2} & s_{3} \\ r_{0} \\ r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ s_{0} \\ s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3} \end{array}

daneben und trägst deine Ergebnisse gleich ein. BEDENKE, dass die Verknüpfung i.a. NICHT kommutativ ist. Halte die richtige Reihenfolge ein.

Mfg Michael

PS: Die Gruppe heißt übrigens Diedergruppe (sprich Di-edergruppe). Google hilft!

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20:39 Uhr, 25.10.2011

"(Achtung, Winkel ist gegen die positive x-Achse IM Uhrzeigersinn zu messen):"

Bin jetzt etwas verwirrt, weil du das vorher geschrieben hast. Aber es gilt beim Winkel immer gegen den Uhrzeigersinn, richtig?

Das Schemata kann ich aber auch genausogut für

z . B

r_{2}

s_{3}

machen, muss nichts festgelegtes sein oder?

Ich hätte eig. eine Tabelle gemacht, die so aussieht:

°

r_{0} r_{1} r_{2}

s_{0}

s_{1}

s_{2}

Aber man muss auch jedes Element mit sich selber Verknüpfen oder? Dabei kommt doch soweit ich weiß die Identität raus.

michaL aktiv_icon

20:47 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

also, im Text steht, wie herum die Drehung zu sein hat. Halte dich einfach daran.

Zu der anderen Frage: die Menge hat 8 Elemente, alles Mitglieder der Gruppe. Jedes Mitglied kann mit jedem verknüpft werden, auch mit sich selbst.
Bei der Drehung kannst du selbst feststellen, dass nicht für jedes Element gilt, dass es die Identität ergibt, wenn man es mit sich selbst verknüpft. Zweimal eine Vierteldrehung ergeben eben KEINE ganze.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

21:06 Uhr, 25.10.2011

EDIT: Falscher Faden, sorry.

Mfg Michael

Goone aktiv_icon

21:17 Uhr, 25.10.2011

Stimmt, ist plausibel, Tabelle hab ich verstanden.

Was für einen Faden meinst du jetzt?

Jetzt noch abschließend, wie würdest du beweisen, dass es eine Gruppe ist? Ich mein die Axiome, die gelten müssen sind klar, aber wie würde ich

z . B

. beweisen, dass es ein neutrales Element gibt?

michaL aktiv_icon

21:23 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

nachrechnen?!? (Bezieht sich auf das neutrale Element.)

Bei Abbildungen ist das neutrale Element doch immer das gleiche. Die Identität. Fragt sich nur, wie das hier heißt?

Das vorherige Posting habe ich (inhaltlich) gelöscht, da es sich auf einen anderen Faden bezog.

Mfg Michael

Goone aktiv_icon

21:34 Uhr, 25.10.2011

Da habe ich dich aber ganz schön gelöchert, hast mir sehr gut geholfen, vielen Dank und schönen Abend noch.

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