Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Symmetrieverhalten von Betragsfunktionen

Symmetrieverhalten von Betragsfunktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Symmetrieverhalten von Betragsfunktionen

MacGyver

07:42 Uhr, 05.05.2014

Hallo,

ich habe die Betragsfunktionen f(x)=|x²-4| und g(x)=|x-1| gegeben. Aus den Graphen lässt sich das Symmetrieverhalten (Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. zu x=1) gut erkennen. Wie kann ich das Verhalten rechnerisch am Einfachsten bestimmen? Zu f(x)=|x²-4| habe ich dies mit einer Fallunterscheidung gemacht:

Für -2<x<2 gilt: f(x)=-(x²-4) und für x</=-2 oder x>/=2 gilt: f(x)=x²-4

In beiden Fällen ist f(x)=f(-x) und somit das Symmetrieverhalten Achsensymmetrie zur y-Achse. Gibt es eine einfachere Methode, dieses Symmetrieverhalten festzustellen und wie würdet ihr bei g(x) rechnerisch vorgehen?

Gruß

M.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Respon

08:08 Uhr, 05.05.2014

Vermutet man Symmetrie bezüglich der y-Achse, so muss gelten

: f (x) = f (- x)

für ALLE

x

aus dem Definitionsbereich.

f (x) = | x^{2} - 4 |

f (- x) = | {(- x)}^{2} - 4 |

Da aber

{(- x)}^{2} = x^{2}

( für ALLE

x

aus dem Definitionsbereich ) ist die Gleichheit und damit die Achsensymmetrie bez. der y-Achse gegeben.

Liegt eine Achsensymmetrie bez. der Geraden

x = a

vor, so gilt

: f (a - x) = f (a + x)

g (x) = | x - 1 |

Wir vermuten Achsensymmetrie bez.

x = 1

g (1 - x) = | 1 - x - 1 | = | - x | = | x |

g (1 + x | = | 1 + x - 1 | = | x |

Da dies für ALLE x-Werte aus dem Definitionsbereich zutrifft, haben wir Achsensymmetrie bez. der Geraden

x = 1

Respon

08:23 Uhr, 05.05.2014

Eine Achsensymmetrie bez. einer Geraden

x = a

ist aus der Funktionsgleichung nicht immer erkennbar. Hier könnte man rechnerisch so vorgehen:

g (x) = | x - 1 |

Achsensymmetrie bez. einer Geraden

x = a

???
Wenn ja, so muss gelten

g (a - x) = g (a + x)

g (a - x) = | a - x - 1 |

g (a + x) = | a + x - 1 |

Diese beiden Beträge sind gleich, wenn gilt

a - x - 1 = a + x - 1

ODER

a - x - 1 = - (a + x - 1)

Der erste Fall liefert keine Aussage bez.

a

.
Im zweiten Fall erhalten wir

a - x - 1 = - a - x + 1

( Korrektur )

a - 1 = - a + 1

2 \cdot a = 2 \Rightarrow a = 1

Bummerang

08:33 Uhr, 05.05.2014

Hallo Respon,

aus

a - 1 = - a - 1

folgt

a = - a

und damit

2 \cdot a = 0

und nicht

2 \cdot a = 2!

Dein Fehler liegt vorher in der Auflösung von

- (a + x - 1)

- a - x - 1,

die ein falsches Vorzeichen enthält...

Respon

08:35 Uhr, 05.05.2014

Vielen Dank - schusselig !
( ausgebessert )

MacGyver

07:52 Uhr, 14.05.2014

Alles klar. Danke für die Antworten!

1165371

1162614

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?