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Symmetrische Differenz

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: kommutativer Ring, Körper, Ring

Bibsel aktiv_icon

10:55 Uhr, 15.01.2014

Ein erneutes Hallo.
Langsam komm ich mir doof vor hier um Hilfe zu bitten, aber was soll's.

Wieder mal habe ich eine Aufgabe vor mir, mit der ich nicht so wirklich arbeiten kann.
Ich danke euch schonmal für Eure Mühe mir zu helfen/helfen zu wollen :-)

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Sei $X$ eine Menge und $R := P (X)$ ihre Potenzmenge. Für $A, B \in R$ definieren wir die symmetrische Differenz $A Δ B := (A \ B) \cup (B \ A)$ .
Für $A, B \in R$ sind $A Δ B$ und $A \cap B$ selbstverständlich wieder Elemente von $R$ .
$a)$ Zeigen Sie: $(R, Δ, \cap)$ ist ein kommutativer Ring mit Eins.
$b)$ Welche Elemente von $R$ sind intervenierbar bzgl. der "Multiplikation" $\cap$ ?
$c)$ Für welche Mengen $X$ ist $R$ ein Körper?

Zu $a)$
Die Definition für einen Ring ist:
Ein Ring ist ein Tripel $(R, +, \cdot),$ so dass gilt:
(1) $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe;
(2) $(R, \cdot)$ ist eine Halbgruppe;
$(3)$ es gelten die Distributivgesetze: für alle $a, b, c \in R$ gilt sowohl
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ als auch $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Die Definition für einen kommutativen Ring lautet:
Ein Ring $(R, +, \cdot)$ heißt kommutativ, falls auch die Multiplikation $\cdot$ kommutativ ist, $d . h$ . falls für alle $a, b \in R$ gilt: $a \cdot b = b \cdot a$

Nur muss ich nun leider zugeben, dass ich leider nicht genau weiß, wie ich überhaupt anfangen soll. Die Definitionen sind ja eigentlich ziemlich leicht verständlich, aber mir fehlt einfach die Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen sollte.
Ich hoffe einer von euch ist so nett mir weiterzuhelfen.
Danke im Voraus.
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

16:55 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

"ist abelsche Gruppe" ist ja eine Abkürzung für "erfüllt Gruppenaxiome und Axiom der Kommutativität".

Liste bitte alle Gruppenaxiome auf, die geprüft werden müssen.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

17:10 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

also es bleibt dann ja bei den 3 Axiomen wenn ich mich nicht irre:

$1) (R, +)$ ist eine abelsche Gruppe, soll heißen:
für alle $g_{1}, g_{2} \in G$ gilt: $g_{1} ⋆ g_{2} = g_{2} ⋆ g_{1}$
$2) (R, \cdot)$ ist eine Halbgruppe, soll heißen:
$\forall g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G : g_{1} ⋆ (g_{2} ⋆ g_{3}) = (g_{1} ⋆ g_{2}) ⋆ g_{3}$
$3)$ es gelten die Distributivgesetze: für alle $a, b, c \in R$ gilt sowohl:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ als auch $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
achso und natürlich die
$4)$ auch die Multiplikation des Rings ist kommutativ falls für alle $a, b \in R$ gilt:
$a \cdot b = b \cdot a$ (ist das nicht das gleiche wie 1)?)

michaL aktiv_icon

17:12 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

hm, du bringst da mehrere Sachen durcheinander.

Fange bitte nochmal mit den Gruppenaxiomen an.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

17:35 Uhr, 15.01.2014

Zugegeben, das passiert mir zwischendurch^^

Also die Gruppenaxiome:
Eine Gruppe ist eine Halbgruppe $(G, ⋆),$ mit neutralem Element, in der jedes Element invertierbar ist, $d . h$ . für die $G = G^{x}$ gilt.
Das beinhaltet die Bedingung, dass es eine Halbgruppe $(...)$ ist, hier die Definition dafür:
Eine Halbgruppe ist ein Paar $(G, ⋆),$ wobei $G$ eine Menge ist und $⋆$ eine Abbildung so dass das Assoziativgesetz gilt:
$\forall g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G : g_{1} ⋆ (g_{2} ⋆ g_{3}) = (g_{1} ⋆ g_{2}) ⋆ g_{3}$

soll ich auch die Axiome für das neutrale Element und die Inversen aufschreiben?

michaL aktiv_icon

17:44 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

> soll ich auch die Axiome für das neutrale Element und die Inversen aufschreiben?

Gleich.

Im Wesentlichen reicht (jm dir zu zeigen, was zu tun ist) schon ein einziges Axiom. Allerdings ist es das schwierigste von denen, die du vor dir hast.

Du musst also für diese Verknüpfung (" $△$ ", symmetrische Differenz) zeigen, dass sie assoziativ ist.

Formuliere doch mal das ASsoziativgesetz für die symmetrische Differenz!
(Das entspricht dem zweiten Schritt bei diesen eher einfach Aufgaben:
1. Schritt: entsprechende Axiome "wissen"/notieren/nachschlagen
2. Schritt: entsprechende Axiome transkribieren (d.h. so umschreiben, dass es zu der gegebenen Situation passt)
3. Schritt: Beweis der Gültigkeit des Transkiptums (meist ja eine GLeichung))

Alles klar?

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

17:56 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Mein Kopf raucht grad ein bisschen, aber ich versuch's.

Das Assoziativgesetz allgemein lautet ja:
$g_{1} ⋆ (g_{2} ⋆ g_{3}) = (g_{1} ⋆ g_{2}) ⋆ g_{3}$

In diesem Fall haben wir $A Δ B := (A \ B) \cup (B \ A)$
sollte $Δ$ also assoziativ sein muss gelten, dass
$(A \ B) \cup (B \ A) = (B \ A) \cup (A \ B)$ ?

michaL aktiv_icon

18:26 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

das ist die GLeichung für das (ungleich einfachere) Kommutativgesetz.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Also war das falsch?
Hast du eventuell noch einen weiteren Tipp für mich? So komm ich gerade leider wirklich nicht weiter.

Grüße Bibsel

michaL aktiv_icon

19:35 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

leider ist das aber gerade das, was DU üben sollst.

Aus
> g1⋆(g2⋆g3)=(g1⋆g2)⋆g3
hast du
> (A\B)∪(B\A)=(B\A)∪(A\B)
gemacht.

Fällt dir an der Struktur der beiden Terme nicht ein besonderer Unterschied auf?

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

19:48 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Natürlich soll ich das üben, aber alles, was ich gerade mache ich wohl eher raten und verzweifeln als alles andere.

Ein gravierender Unterschied zwischen den beiden Termen fällt mir schon auf, beziehungsweise sogar zwei.
Es ist ein Element weniger als in der allgemeinen Formel (inwieweit das nun eine Rolle spielt, weiß ich jedoch nicht)
und im Prinzip hab ich da wirklich das Kommutativgesetz in Frage gestellt und nicht das Assoziativgesetz.
Das Assoziativgesetz beschäftigt sich mit der Klammerung, nur kann ich schlecht bei $(A \ B)$ die Klammern weglassen.

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