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Symmetrische Matrix Eigenwertbestimmung
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Guten Tag, ich habe die symmetrische Matrix \begin{matrix} a+8 & 3 \\ 3 & a \end{matrix} Ich hoffe ihr versteht, was ich meine. Bestimmen sie nun alle Werte , sodass die Matrix positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit und indefinit ist. Ich schätze mal, dass ich dies nicht mitt den Hauptminorenkriterium machen kann, da ich mehr als bloße positive bzw. negative definitheit bestimmen muss. Somit gehe ich über die Eigenwerte. Hier bräuchte ich einen kleine nDenkanstoß für ein geeignetes vorgehen. Wenn ich das charakteristische polynom erstelle, erhalte ich folgendes: ^2-10+a^2+8a-9 Nun müsste ich die Nullstellen des Ganzen so berechnen, dass sie etc. (je nach Definitheit) annehmen. Gibt es neben stumpfen Ausprobieren auch eine strukturiertere Vorgehensweise ? |
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Charakt. Polynom ist . Die Nullstellen kann man mit p-q-Formel berechnen: , also und . |
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Ich hatte mich beim charakteristischen Polynom leicht verrechnet, dies aber behoben. Nun habe ich da die besagten Eigenwerte raus - Nur wie hilft mir das die Aufgabe zu lösen ? stehe da etwas auf dem Schlauch, eventuell weil ich es kaputt gedacht habe .... |
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Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix ist genau dann positiv definit,wenn alle Eigenwerte größer als null sind; positiv semidefinit,wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind; negativ definit,wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind; negativ semidefinit,wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und indefinit,wenn positive und negative Eigenwerte existieren. (Aus Wikipedia). Z.B., wenn , dann sind bei EW positiv, also ist die Matrix positiv definit. Usw. |
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Vielen Dank! Ich habe hier mal ein wenig geschaut und bin auf folgende Werte gekommen: positiv Definit: a>1 positiv semidefinit: a=1 negativ definit: a < -9 negativ semidefinit: a= -9 indefinit: (-9,1) Ist das so korrekt ? |
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Du musst doch nur betrachten. |
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Das hatte ich vollkommen außer Acht gelassen ... Alles klar, danke! ... Nur ist es in dem Fall so, dass es kein a größer/gleich 0 gibr, dass negative Definitheit bzw. negative Semidefinitheit erzeugen würde. |
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Das hatte ich vollkommen außer Acht gelassen ... Alles klar, danke! ... Nur ist es in dem Fall so, dass es kein a größer/gleich 0 gibr, dass negative Definitheit bzw. negative Semidefinitheit erzeugen würde. Und eine weitere Frage hätte ich ... Sei nun a=1 wieviele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem Ax= (0 0) Soll ich hier a=1 einsetzen und dann das charakteristische Polynom erneut 0 setzen oder wie ist das gemeint ? |
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"Sei nun a=1 wieviele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem Ax= (0 0) Soll ich hier a=1 einsetzen und dann das charakteristische Polynom erneut 0 setzen oder wie ist das gemeint ?" Polynom hilft hier nicht, hier muss man in die Matrix einsetzen, danach aber das entsprechende LGS lösen. Es gibt unendlich viele Lösungen, die Lösungsmenge ist , beliebig. |
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Kann sein, dass ich gerade voll auf dem Schlauch stehe, weil ich den ganzen Tag dabei war aber was genau meinst du mit a=1 einsetzen ? Wenn ich a=1 in der Matrix setze verliere ich ja sozusagen alle variablen darin. (Kann auch gerade der totale Denkfehler meinerseits sein) |
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"Wenn ich a=1 in der Matrix setze verliere ich ja sozusagen alle variablen darin." Da gab's auch davor keine Variablen. Es gab da einen Parameter . Du hast gefragt nach den Lösungen im Fall, wenn . Und ja, wenn , dann gibt's keinen unbestimmten Parameter mehr, ist doch logisch. Nur wo ist das Problem? |
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Okay vielen Dank für deine Geduld :-)))) Steht dann sozusagen als ein Vektor ? Also 9+x *x =0 ? |
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Was steht als ein Vektor? :-O |
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Also so wie ich das verstanden habe, soll ich in meine Matrix a=1 setzen und diese Matrix mit x1 und x2 multiplizieren, woraus die Matrix Ax=(0,0) entsteht. Kann auch sein, dass hier ein riesen Denkfehler ist :-D) |
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Eigentlich musst Du nichts multipizieren, Du musst nur das LGS lösen. Weißt Du überhaupt, wie es geht? Gauss-Verfahren. |
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Okay ich stand KOMPLETT auf dem Schlauch. Durch das Gaußverfahren kann ich die Lösungsmenge direkt ablesen. Dadurch das die beiden aber linear abhängig sind gibt es unendlich viele Lösungen. GEDANKENSPIEL: a=0 und lineare Gleichungssystem Ax(1,1) gäbe es KEINE Lösung. Ich habe den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen =) |
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abhaken nicht vergessen. Gruß ledum |
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