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Symmetrische, positiv semidefinite Matrizen

Universität / Fachhochschule

anonymous

16:34 Uhr, 22.01.2022

Hallo,
warum folgt aus dem Satz

4.11

(Singulärwertzerlegung), dass

A^{t} \cdot A

symmetrisch und positiv semidefinit ist? (siehe Foto)

Folgt das überhaupt aus den Voraussetzungen ODER wird das einfach vorausgesetzt?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

16:38 Uhr, 22.01.2022

Also in der Beschreibung des Satzes steht ja, dass die Hauptdiagonalelemente von

Σ

genau die Wurzeln von den von Null verschiedenen Eigenwerten Von

A^{t} \cdot A

sind.

Wenn wir die Wurzel von einer Zahl ziehen, so sollte diese im reellen zumindest

> 0

sein. Damit wären alle EW

> 0

also symmetrisch positiv definit.

Ich bin mir aber nicht sicher, ob das die richtige Überlegung ist oder ob nicht noch mehr dahinter steckt?

16:44 Uhr, 22.01.2022

UPDATE. Korrigiert.

Das folgt nicht aus dem Satz, das kann man leicht direkt zeigen.
Erstens,

(A A^{t})^{t} = (A^{t})^{t} A^{t} = A A^{t}

nach den Regeln der Transposition.
Und zweitens,

(A A^{t} x, x) = (A^{t} x, A^{t} x) = ∥ A^{t} x ∥ \geq 0

. Also positiv semidefinit.

anonymous

17:13 Uhr, 22.01.2022

Hallo,
also genau so für

A^{t} \cdot A

(siehe Foto).

Ich glaube, du zeigst das für

A \cdot A^{t},

kann das sein?

19:59 Uhr, 22.01.2022

Ja, aber es ist egal. Man kann ja

A

mit

A^{t}

vertauschen.

anonymous

07:13 Uhr, 23.01.2022

Danke!

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