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Synthese/Rekonstruktion einer Funktion 3. Grades

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Rekonstruktion, Synthese

 
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raven16

raven16 aktiv_icon

19:48 Uhr, 13.05.2009

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Aufgabe 1)
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat einen Wendepunkt in W(1|0). Außerdem hat sie im Punkt (2|6) die Steigung -2. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Funktion.

Mein Lösungsansatz:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b

1. P(1|0)⇒f(1)=0
2. W(1|0)⇒f''(1)=0
3. P(2|-6)⇒f(2)=-6
4. Steigung -2⇒f'(2)=-2

so hätte ich schon mal 4 funktionen für 4 unbekannte (a,b,c,d)
nun die Gleichungen dazu...

1. 0=a+b+c+d
2. 0=6a+2b
3. -6=8a+4b+2c+d
4. -2=12a+4b+c

Rechnung...

3'.=3.-1. ⇒-6=7a+3b+c
4'.=4.-3'.⇒4=5a+b
2'.=2.-4'.⇒4=a+b
4''.=4'.-2'.⇒0=4a⇒a=0
a→2. ⇒0=2b⇒b=0
a und b→4. ⇒-2=c
a,b,c→3. ⇒-6=-4+d→|+4
-2=d

→= "daraus folgt" oder "in"

Nun hab ich alle 4 Werte ausgerechnet und habe die Funktion
f(x)=x3+x2-2x-2


Meine Frage: Ist der Rechenweg richtig den ich gemacht habe und wie kann man solche Unbekannten am besten auflösen? Darf man auch z.B. die 2. mit der 4. multiplizieren oder welche Regeln sind beim auflösen zu beachten?

Hoffe ihr könnt mir etwas helfen.

mfg


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

20:08 Uhr, 13.05.2009

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Der Weg ein Gleichungssystem optimal zu lösen, kann nicht ein bestimmter sein. Es gibt ein Fülle von geeigneten Verfahren. Je besser man den Überblick hat, umso flexibler darf man mit Methoden jonglieren. Leider passiert es aber oft den Newcomern, dass sie vermeintliche Abkürzungen nehmen, die dann im Morast enden. Für Systeme ab 4 Variablen gibt es feste Lösungsalgorithmen (z.B. Gauss-Elemination), die nicht immer die schnellsten sind - aber jedenfalls sicher zum Ziel und zum richtigen Ergebnis führen, sofern man sie einfach stur abarbeitet.

Du hast ja jedenfalls erkannt, welche Informationen Dir der Text gibt und dazu die richtigen Gleichungen aufgestellt. Das ist schon viel im Vergleich zu manchen Anfragern hier, die schon an diesen ersten Schritten jämmerlich scheitern. Auch dafür gibt es Abkürzungen und Tricks, schneller fertig zu werden - aber was nützt es, wenn nun so eine tolle Regel blöderweise verwechselt oder fehlinterpretiert wird - die Aufgabe ist dann zwar wesentlich schneller fertig - aber auch wesentlich falscher!

PS:
ich habe Deine Aufgabe nicht en détail nachgerechnet - eine Probe kannst du sicher selbst durchführen. Du kannst dich ja mal als Trainer probieren, wenn Dir mal eine Frage dieser Art über den Weg läuft - prinzipiell kannst du das ja!

Und mit der Übung wird es dann auch flotter und sicherer.
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