Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » System erster Ordnung

System erster Ordnung

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: homogene DGL, Partielle Differentialgleichungen

lifescience aktiv_icon

16:25 Uhr, 11.02.2017

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Wandeln Sie die gewöhnliche DGL y''+y'-2y=-xe^(-x)
Wandel Sie die zugehörige homogene Gleichung in ein System 1. Ordnung um.
Danke an alle die mir helfen, bin sehr ratlos..

mihisu aktiv_icon

16:31 Uhr, 11.02.2017

Setze

u_{0} := y

und

u_{1} := u_{0}^{'}

.
Dementsprechend ist dann

y = u_{0}

und

y^{'} = u_{1}

und

y^{''} = u_{1}^{'}

.

Daraus erhält man:

u_{1}^{'} + u_{1} - 2 \cdot u_{0} = - x \cdot e^{- x}, u_{0}^{'} = u_{1}

Das ist ein System erster Ordnung (da nur noch erste Ableitungen vorkommen).

\\\\
Im Allgemeinen:

Man kann auf diese Weise eine Differentialgleichung m-ter Ordnung immer in System erster Ordnung mit m-Gleichungen umwandeln.

u_{0} := y

u_{1} := u_{0}^{'} = y^{'}

u_{2} := u_{1}^{'} = y^{''}

⋮

u_{m - 1} := u_{m - 2}^{'} = y^{(m - 1)}

Indem man dann

y = u_{0}

und

y^{'} = u_{1}

und

...

und

y^{(m - 1)} = u_{m - 1}

einsetzt, und

y^{(m)} = u_{m - 1}^{'}

einsetzt. Erhält man zusammen mit den Gleichungen

u_{1} = u_{0}^{'}, u_{2} = u_{1}^{'},, ..., u_{m - 1} = u_{m - 2}^{'}

aus einer Differentialgleichung m-ter Ordnung ein äquivalentes System erster Ordnung.

lifescience aktiv_icon

16:38 Uhr, 11.02.2017

Ah super danke! und wie lös ich das jetzt auf?

mihisu aktiv_icon

16:46 Uhr, 11.02.2017

Wie meinst du das mit "auflösen"?

y^{''} + y^{'} - 2 y = - x \cdot e^{- x}

Mit

u_{0} := y

und

u_{1} := y^{'}

erhält man:

u_{1}^{'} + u_{1} - 2 \cdot u_{0} = - x \cdot e^{- x}

u_{0}^{'} = u_{1}

u_{1}^{'} = - 1 \cdot u_{1} + 2 \cdot u_{0} - x \cdot e^{- x}

u_{0}^{'} = 1 \cdot u_{1} + 0 \cdot u_{0} + 0

{(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{0} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{0} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - x \cdot e^{- x} \\ 0 \end{matrix})

Damit hat man das in der Form

u^{'} = A \cdot u + b

.
Wolltest du sowas?
Oder wolltest du wissen, wie man die Lösungen der Differentialgleichung berechnen kann?

\\\\

Wenn du die Lösungen der Differentialgleichung brauchst:
Soll das als System erster Ordnung gelöst werden?
Oder darf man auch mit der ursprünglichen Differentialgleichung zweiter Ordnung arbeiten?

lifescience aktiv_icon

16:48 Uhr, 11.02.2017

Entschuldige, ich meinte wie man die Lösung dieser DGL 1. Ordnung bestimmt..

mihisu aktiv_icon

17:00 Uhr, 11.02.2017

Ich vertausche zunächst nochmal die beiden Zeilen der Gleichung, da es mir so besser gefällt:

{(\begin{matrix} u_{0} \\ u_{1} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} u_{0} \\ u_{1} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ - x \cdot e^{- x} \end{matrix})

[

Das macht keinen großen Unterschied, mir ist es nur persönlich lieber, wenn ich das

u_{0}

mit dem kleineren Index 0 oben stehen habe. Sonst komme ich evtl. leichter durcheinander.

]

Als Kurzbezeichnungen führe ich ein:

u := (\begin{matrix} u_{0} \\ u_{1} \end{matrix})

A := (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

b (x) := (\begin{matrix} 0 \\ - x \cdot e^{- x} \end{matrix})

Damit kann ich das System dann kurz so schreiben:

u^{'} = A \cdot u + b

Das ist ein LINEARES Differentialgleichungssystem erster Ordnung.
Bei linearen Gleichungen ist es oftmals hilfreich zunächst die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung zu lösen. Betrachte also zunächst das Gleichungssystem

u^{'} = A \cdot u

.

Für die allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystems suchen wir ein Fundamentalsystem bzw. eine Fundamentalmatrix. Um diese zu erhalten, ist es hilfreich sich zunächst die Eigenwerte und die Eigenvektoren von A anzuschauen. Berechne also die Eigenwerte/Eigenvektoren von A.

lifescience aktiv_icon

12:26 Uhr, 22.02.2017

Hallo,
ich hätte nochmal eine Rückfrage zu deiner ersten Antwort.
Wie genau kommst du denn auf das:
u'1= -1*u_1+2*u_0-x*e^(-x)
u'0= 1*u_1+0*u_0+0

Im speziellen die zweite Zeile verstehe ich nicht.
Danke für deine Mühe

ledum aktiv_icon

14:54 Uhr, 22.02.2017

Hallo

u_{0} = y

damit

u_{0}' = y' = u_{1}

Gruß ledum

mihisu aktiv_icon

15:33 Uhr, 22.02.2017

Ich habe

u_{0} := y

und

u_{1} := y^{'}

gesetzt. Demnach ist

y = u_{0},, y^{'} = u_{1}, y^{''} = {(y^{'})}^{'} = u_{1}^{'}

.

Ersetzt du damit in der Gleichung

y^{''} + y^{'} - 2 y = - x e^{- x}

die Funktionen

y^{''}, y^{'}, y

durch

u_{1}^{'}, u_{1}, u_{0}

erhält man:

u_{1}^{'} + u_{1} - 2 u_{0} = - x \cdot e^{- x}

Um den Zusammenhang zwischen

u_{0}

und

u_{1}

zu beschreiben, habe ich zusätzlich noch wegen

u_{0}^{'} = y^{'} = u_{1}

die Gleichung

u_{0}^{'} = u_{1}

.

Also habe ich das folgende Gleichungssystem

(⋆)

erhalten:

u_{1}^{'} + u_{1} - 2 u_{0} = - x \cdot e^{- x}

u_{0}^{'} = u_{1}

Da ich das gerne in der Form

{(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{0} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{0} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})

schreiben wollte, also das Gleichungssystem zunächst in der Form

u_{1}^{'} = a_{11} \cdot u_{1} + a_{12} \cdot u_{0} + b_{1}

u_{0}^{'} = a_{21} \cdot u_{1} + a_{22} \cdot u_{0} + b_{2}

schreiben wollte, habe ich beim Gleichungssystem

(⋆)

die erste Gleichung nach

u_{1}^{'}

aufgelöst, und in der zweiten Gleichung Nuller ergänzt:

u_{1}^{'} = - 1 \cdot u_{1} + 2 \cdot u_{0} - x \cdot e^{- x}

u_{0}^{'} = 1 \cdot u_{1} + 0 \cdot u_{0} + 0

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1357461

1355924

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?