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System zu einer Basis ergänzen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, Erzeugendensystem, Vektorraum

agricola7 aktiv_icon

14:28 Uhr, 24.03.2019

Hallo,

ich soll die zwei Vektoren

b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{matrix})

und

b_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

zu einer Basis des

ℝ^{3}

ergänzen indem ich noch einen dritten Vektor

b_{3}

finde.

Dazu hab ich mir die Linearkombination der zwei Vektoren aufgestellt

Also:

a \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a - b \\ a + b \\ 8 a \end{matrix})

Dann habe ich mir einen Vektor gesucht der linear unabhängig zu

b_{1}

und

b_{2}

ist also

z . B

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Reicht es jetzt einfach

b_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

zu wählen?

Weil ich habe ja durch die vorausgegangenen Schritte nur zeigen können, das

b_{3}

linear unabhängiger von

b_{1}

und

b_{2}

ist aber nicht, dass die drei Vektoren ein Erzeugendensystem bzw. eine Basis bilden.

PS: Ich weiß, dass es Methoden gibt solche Aufgabentypen mit Matrizen, Gauß-Algorithmus,
Stufenform,... zu lösen. Haben wir aber noch nicht gelernt und sollen wir daher auch nicht anwenden!

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

18:46 Uhr, 24.03.2019

Hallo

3 linear unabhängige Vektoren im

ℝ^{3}

(allgemein

k

linear unabhängige Vektoren im

ℝ^{k})

bilden (automatisch) eine Basis.

Gruß pwm

agricola7 aktiv_icon

19:03 Uhr, 24.03.2019

Ok super danke!

LG

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