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Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung (t-Vert.

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

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19:06 Uhr, 17.02.2020

Hallo,
ich hätte kurz eine Verständnisfrage zu der Tabelle unter folgendem Link Punkt

d

viles.uni-oldenburg.de/navtest/viles2/kapitel02_Theoretische~~lVerteilungen/modul04_t-Verteilung/ebene01_Konzepte~~lund~~lDefinitionen/02__04__01__01.php3

Meine Frage wäre für was die Werte in der Tabelle stehen. Es gibt ja

z . b

. für ein Vertrauensbereich von 5Prozent an wo ich in der

t

Verteilung den Grenzwert setzen muss, damit 95Prozent der Fläche der Dichtefnkt. links von der Schwelle liegen.

Z . B

. lese ich für einen FG von 1 und

0,05

den Wert

6,31

ab.
Aber was beschreibt mir diese Zahl. Steht die für

6,31

Mal die Standardabweichung?

Danke vorab

HAL9000

19:29 Uhr, 17.02.2020

Das

ϕ

links steht für den Freiheitsgrad der t-Verteilung, während die obere Zeile von

0.400

bis hin zu

0.001

das (obere) Quantilniveau

α

repräsentiert. Im Innern der Tabelle kann man dann das zugehörige

t_{0}

ablesen, so dass

P (T_{ϕ} \geq t_{0}) = α

gilt.

In Verteilungsfunktion ausgedrückt ist dann

F_{T_{ϕ}} (t_{0}) = P (T_{ϕ} \leq t_{0}) = 1 - α

.

Auf dein Beispiel bezogen ist somit

P (T_{1} \geq 6.31) = 0.05

bzw. auch

F_{T_{1}} (6.31) = P (T_{1} \leq 6.31) = 0.95

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19:59 Uhr, 17.02.2020

P(T1≥6.31)=0.05
Bedeutet doch, dass die Wahrscheinlichkeit für

T 1

größer gleich

6,31 = 0,05

beträgt.
Aber was sagt mir die

6,31

? Ich gehe Mal davon aus dass es nicht nur eine Zahl ist sondern diese Zahl etwas über die Dichtefunktion aussagt,oder? ich kann ja breitere und spitzere tVerteilungen haben.
Meine Idee: der Wert

6,31

ist auf dir standardisierte tVerteilung bezogen mit der Standardabweichung von 1. Wäre das richtig?

HAL9000

21:02 Uhr, 17.02.2020

Es bedeutet

P (T_{1} \geq 6.31) = 0.05

, nicht mehr und nicht weniger - Punkt.

Warum du dir dann noch diese anderen Dinge zusammenphantasierst, kann ich nicht nachvollziehen. Für andere Kenngrößen, wie Erwartungswert und Varianz dieser t-Verteilung, ist diese Tabelle nicht da, das erfährt man anderweitig:

E (T_{ϕ}) = 0

und

V (T_{ϕ}) = \frac{ϕ}{ϕ - 2}

, letzteres natürlich nur für

ϕ > 2

(für

ϕ \leq 2

existiert die Varianz nicht).

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21:27 Uhr, 17.02.2020

Hi, danke für deine Antwort.
Was mich momentan etwas verwirrt ist wie man auf das Konvidenzintervall kommt.
In einem Buch steht folgendes:
Konstruktion eines Konfidenzintervalls für mü bei normalverteiltem Merkmal mit unbekannter Standardabweichung

σ

1. Lese aus der Tabelle den t-Wert für den Freiheitsgrad und

α

ab
2. berechne

k = t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

3. Konvidenzintervall: (x_quer-k,x_quer+k)

Das sieht ja so aus, als ob man mit dem t-Wert die Standardabweichung aus der Stichprobe "dehnt" um an das Konvidenzintervall zu kommen. Was steckt da dahinter?
Dabei hatte ich die Idee, dass der t-Wert aus der Tabelle für eine Standardabweichung von 1 gilt und wir ihn für unsere Verteilung noch mal der Standardabweichung rechnen müssen. Hoffe es ist nun etwas deutlicher geworden.

HAL9000

21:37 Uhr, 17.02.2020

Ok, du vermengst da also verschiedene Dinge miteinander: Die t-Verteilung mit der Situation, in der du sie benötigst. :(

Es geht anscheinend um eine normalverteilte Stichprobe vom Umfang

n

, aus der Mittelwert

\overline{X}

sowie die empirische Standardabweichung

S

bestimmt werden können.

Dann weiß man durch entsprechende stochastische Betrachtungen, dass unter diesen Voraussetzungen die Größe

\sqrt{n} \frac{\overline{X} - μ}{S}

eine t-Verteilung mit

n - 1

Freiheitsgraden besitzt. Auf dieser Basis erfolgt dann die Konfidenzintervallkonstruktion.

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21:51 Uhr, 17.02.2020

Nochmal danke, so langsam wird es etwas klarer.

1. Schritt:
Ich lese aus der Tabelle zur t-Verteilung den t-Wert für meine Anzahl Freiheitsgrade und mein

α

ab. Damit erhalte ich die untere und obere Grenze (symmetrisch zu Null) zwischen denen die Wahrsch.

1 - α

liegt. Das ist dann mein Konvidenzintervall.

2. Schritt:
Nun muss ich ja auf die untere und obere Konvidenzintervallgrenze meiner t-Verteilten Größe

(z . B

. Mittelwert aus mehreren Stichproben) berechnen. Durch obere Formel mit dem

\sqrt{n} \cdot . .

. erhalte ich eine t-Verteilung. Aber wie bekommt man dann den Bogen zu Schritt 1 hin?

HAL9000

06:50 Uhr, 18.02.2020

Die Größe

T = \sqrt{n} \frac{\overline{X} - μ}{S}

ist unter den genannten Bedingungen t-verteilt mit

n - 1

Freiheitsgraden. Nehmen wir die "mittleren"

1 - α

dieser Verteilung (also jeweils

\frac{α}{2}

an den Rändern links und rechts), dann bedeutet das

t_{n - 1, \frac{α}{2}} \leq \sqrt{n} \frac{\overline{X} - μ}{S} \leq t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}}

,

wobei mit

t_{n - 1, β}

das

β

-Quantil dieser t-Verteilung gemeint ist, das ist also diese Zahl mit

P (T \leq t_{n - 1, β}) = β

bzw. von oben betrachtet (wie in deiner Tabelle)

P (T \geq t_{n - 1, β}) = 1 - β

. Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung gilt nun

t_{n - 1, \frac{α}{2}} = - t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}}

, so dass die obige Ungleichung dann

- t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}} \leq \sqrt{n} \frac{\overline{X} - μ}{S} \leq t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}}

lautet. Und diese Ungleichung stellt man nun nach

μ

um und erhält

\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}} \leq μ \leq \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}}

.

Was du also in deinem ersten Schritt abliest, ist NICHT das Quantil zum Niveau

α

, sondern das zum Niveau

\frac{α}{2}

, d.h. die Zahl

t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}}

, für die (s.o.) ja

P (T \geq t_{n - 1, 1 - \frac{α}{2}}) = \frac{α}{2}

gilt.

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08:43 Uhr, 18.02.2020

Achso, vielen Dank, jetzt ist es mir klar geworden!

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