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Tangenswerte analytisch in cos und sin umrechnen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Cosinus, Geometrie, Körper, Sinus, Tangens, Winkelfunktion

 
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lu9999

lu9999 aktiv_icon

13:25 Uhr, 18.01.2022

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Hallo Forum, irgendwie habe ich da gerade einen Denkfehler, aber wie komme ich auf folgende Überlegungen?:

gegeben: tan(α) = 2.

Folgerung aus Lösung: cos(α) = 15

sin(α) = 25

Danke und Grüße,

lu
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HAL9000

HAL9000

13:36 Uhr, 18.01.2022

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Stimmt, sofern du zusätzlich voraussetzen kannst, dass α im ersten Quadranten liegt.

Ohne diese Einschränkung ist nämlich auch der dritte Quadrant denkbar, mit dann

cos(α)=-15 sowie sin(α)=-25.


Allgemein gilt zunächst

cos2(α)=cos2(α)sin2(α)+cos2(α)=1sin2(α)cos2(α)+1=1tan2(α)+1

und damit nach Wurzelziehen

∣cos(α)∣=1tan2(α)+1.

Aber bei der Betragsauflösung sind (wie oben erwähnt) beide Vorzeichenvarianten zu beachten.
Frage beantwortet
lu9999

lu9999 aktiv_icon

14:03 Uhr, 18.01.2022

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Danke !
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N8eule

N8eule

15:51 Uhr, 18.01.2022

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wenn ich ergänzen dürfte - ebenso lässt sich herleiten:

sin(α)=tan(α)±1+tan2(α)

rein formal wäre gemäß deinen Angaben auch richtig:
sin(α)= sin(arctan(tan(alpha)))
aber ich ahne schon, dass die erstere Hergangsweise die eher erwünschte ist.
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HAL9000

HAL9000

16:01 Uhr, 18.01.2022

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Allerdings ist das Vorzeichen nur bei einem der beiden Sinus/Kosinuswerte frei wählbar, beim anderen ist es dann über die Kopplung

sin(α)=tan(α)⋅cos(α)=2⋅cos(α)

bereits festgelegt.