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Tangente an Normalparabel legen

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Tags: Funktion

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

15:00 Uhr, 13.06.2015

Hallo liebe Mathefreunde,

ich stehe gerade auf dem Schlauch bei einer Aufgabe.

Ich soll eine Tangente an eine Normalparabel legen, die durch einen speziellen Punkt geht...

Die Aufgabe lautet:
"Bestimmen Sie die Geraden, die durch den Punkt (x; y) = (4; 7) gehen und Tangenten
an dem Graphen

y = x^{2}

sind."

Wie muss ich da vorgehen?

Ich habe y=mx + b mit y=7 und x = 4 ersetzt, habe also:

7 = 4m + b

Die Steigung muss ja 2x sein (also Ableitung von

x^{2}

.

Aber selbst wenn ich m durch 2x ersetze weiß ich nicht weiter...

Habt ihr eine Idee?

Liebe Grüße,
Hawaiihemdtraeger

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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rundblick aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.06.2015

"
ich

s t e h e

gerade ".. (das ist eine gesunde Haltung )

auf dem Schlauch ".. ( der arme Schlauch - was ist denn drin?)

"Wie muss ich da vor

g e h e n

?"

aus dem Stand zB so

: \to

\to

schreibe die Gleichung der Geradenschar auf, die den Punkt

(4; 7)

enthält

Tipp: diese Gleichung wird einen Parameter enthalten ..

... ...

. und könnte zB so aussehen:

\to y = m x + 7 - 4 m

\to

bestimme diesen Parameter so, dass die zugehörige(n) Gerade(n) mit der
Parabel

y = x^{2}

nur genau einen Schnittpunkt

(\to

"Berührpunkt

!!)

hat ..

fast fertig.

ach ja:

\to

"selbst wenn ich

m

durch

2 x

ersetze"
also selbst dann kommt natürlich keine Freude auf, da

\to x

für eine Variable ,

\to m

dagegen für eine Konstante steht ..
und die verweigern sich vehement der Geschlechtsumwandlung.
.

Ma-Ma aktiv_icon

01:51 Uhr, 14.06.2015

1.Schritt: Skizze und draufgucken

...

.
Aufgabenstellung genau prüfen

. .

!!!

Tangente an Parabel ist doch eher Klasse

10

oder

11 ...

.
LG Ma-Ma

Atlantik aktiv_icon

10:06 Uhr, 14.06.2015

Es geht auch über die Ableitung:

B(u|u^2)ist der Berührpunkt.

f´

(u) = . .

P (4 | 7)

->Punkt-Steigungsformel der Geraden.

mfG

Atlantik

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

09:09 Uhr, 15.06.2015

Also, was ich jetzt gemacht habe:

Ich habe

y=mx + b

genutzt und für y die 7 und für x die 4 eingesetzt.
Also:

7 = 4m + b

Das habe ich nach b umgeformt, das ergibt:

b = 7 - 4m

Und DAS jetzt in die allgemeine Gleichung eingesetzt ergibt:

y = m(x-4) + 7

Das wäre die Geradengleichung mit dem Parameter m.

Wenn ich jetzt den Berührpunkt suche, dann muss ich das ja mit

x^{2}

gleichsetzen.

Und

x^{2} = m (x - 4) + 7

ergibt, nach x umgeformt und pq-Formel angewandt:

x_{1, 2} = 0, 5 m \pm \sqrt{0, 25 m^{2} - 4 m + 7}

Das KANN doch nicht der weg sein, oder?

Atlantik aktiv_icon

10:06 Uhr, 15.06.2015

Das kann sein!

P (4 | 7)

y = m \cdot x + b

4 m + b = 7

b = 7 - 4 m

y = m \cdot x + 7 - 4 m

geschnitten mit

y = x^{2}

x^{2} = m \cdot x + 7 - 4 m

x^{2} - m \cdot x = 7 - 4 m | + q . E . {(\frac{- m}{2})}^{2} = \frac{m^{2}}{4}

x^{2} - m \cdot x + \frac{m^{2}}{4} = 7 - 4 m + \frac{m^{2}}{4}

{(x - \frac{m}{2})}^{2} = 7 - 4 m + \frac{m^{2}}{4} | \sqrt{}

x = \frac{m}{2} \pm \sqrt{7 - 4 m + \frac{m^{2}}{4}} \to

Diskriminante

= 0

7 - 4 m + \frac{m^{2}}{4} = 0

Wolfram:

m_{1} = 2

und

m_{2} = 14

Nun Berührpunkte berechnen.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:14 Uhr, 15.06.2015

Weg über die vorgeschlagene Ableitung:

Die Berührpunkte

B (u | u^{2})

liegen auf der Parabel

P (4 | 7)

liegt auf der Tangente.

Steigungen der Tangenten an die Parabel in

B

f

(u) = 2 u

\frac{u^{2} - 7}{u - 4} = 2 u

u^{2} - 7 = 2 u^{2} - 8 u

u^{2} - 8 u + 7 = 0

u_{1} = 1

u_{2} = 7

Nun Tangenten bestimmen.

mfG

Atlantik

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

14:42 Uhr, 15.06.2015

Klasse, JETZT hab ich es!

Jawoll, das war eine gute Hilfe - ich konnte beide Lösungswege nachvollziehen und habe damit jetzt gerechnet - und es passt!

Vielen Dank!!!

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