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Tangente parallel zu y Achse

Universität / Fachhochschule

Tags: Tangentengleichung

sam24 aktiv_icon

19:16 Uhr, 27.01.2018

Hallo

Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen.

Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Kurve

k

mit

x(t)=1/2sin(2t),

y (t) = {cos}^{2} (t) - {sin}^{2} (t) [0, π)

a)

Bestimmen Sie die Punkte

(x, y),

an denen die Tangente parallel zur y-Achse verläuft.

b)

Bestimmen Sie die tangente und Normalengleichung an der Stelle

t_{0} = \frac{3}{8} \cdot π

Mein Ansatz:

a) x (t)

und

y (t)

kann man umschreiben

x (t)

lass ich einfach so stehen, weil man die Funktion leichter Ableiten kann

y (t)

schreibe ich um.

y (t) = {cos}^{2} (t) - {sin}^{2} (t) = cos (2 t)

somit ist meine Funktion

x (t) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 t)

und

y (t) = cos (2 t)

Da die Tangente gesucht ist leite ich die Funktion ab.

x(t)=1/2sin(2t)

x

(t) = \frac{2}{2} cos (2 t) = cos (2 t)

x

(t) = cos (2 t)

jetzt

y (t)

Ableiten:

y (t) = cos (2 t)

y

(t) = - 2 sin (2 t)

somit lautet meine gesuchte Tangente:

t : \vec{x} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} sin (2 t) \\ cos (2 t) \end{matrix}) + λ \cdot

((cos(2t)),(-2sin(2t))) /*ich weiß nicht warum die Funktion nicht in vektorschreibweise übersetzt*/

Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Für

b

habe ich keine Ansatz. Ich weiß auch nicht wie ich die Normalengleichung bestimmen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Tangente / Steigung

ledum aktiv_icon

19:40 Uhr, 27.01.2018

Halllo
b)du brauchst doch nur den Ableitungsvektor, der nur ein

y -

Komponente hat. und dann den entsprecheden Punkt.

c)

Tangentenvektor im gegebenen Punkt jast du, also auch die Tangente , die Normale ist orthogonal dazu, also Skalarprodukt mit Tangentenvektor

= 0

Gruß ledum

sam24 aktiv_icon

19:51 Uhr, 27.01.2018

Hallo ledum

Meinst du etwa so:

y (t) = {cos}^{2} (t) - {sin}^{2} (t)

y (t) = cos (2 t)

y´(t)=-2sin(2t)
y´(t)=0

-2sin(2t)

= 0

sin (2 t) = 0

t = 0

t = π

t = \frac{π}{2}

Jetzt die Punkte in

x (t)

einsetzen
Also
x(t)=1/2sin(2t)
x(0)=1/2sin(0)=0
x(pi)=1/2sin(2pi)=0
x(pi/2)=1/2sin(2pi/2)=0

in der Lösung steht aber

(\frac{1}{2}; 0)

und

(- \frac{1}{2}; 0)

sam24 aktiv_icon

21:08 Uhr, 27.01.2018

Ich hab jetzt zwar das Ergebnis raus aber ich weiß nicht wieso ich das so gemacht habe.

a)

x(t)=1/2sin(t),

y (t) = {cos}^{2} t - {sin}^{2} (t) = cos (2 t)

ich betrachte erstmal die Funktion

y (t) = cos (2 t)

ich setzte

y (t) = 0

cos (2 t) = 0

t = \frac{π}{4}

t = \frac{π}{2}

jetzt die werte in

x (t)

einsetzen
x(t)=1/2sin(2t)

x (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot sin (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

x(3pi/4) = 1/2*sin(3pi/2)

= - \frac{1}{2}

P_{1} (\frac{1}{2}; 0) P_{2} (- \frac{1}{2}; 0)

Respon

21:15 Uhr, 27.01.2018

"b)du brauchst doch nur den Ableitungsvektor, der nur ein

y -

Komponente hat. und dann den entsprecheden Punkt."
Hast du das verstanden ?

sam24 aktiv_icon

22:13 Uhr, 27.01.2018

Hallo Hier mein Rechenweg

t : \vec{x} (t) = \vec{x} (t) + λ \vec{x}' (t)

\vec{x} (t) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot sin (2 t) \\ cos (2 t) \end{matrix})

\vec{x} (3 \cdot \frac{π}{8}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot \frac{3}{8}) \\ cos (2 \cdot 3 \cdot \frac{π}{8}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{matrix})

\vec{x}' (t) = (\begin{matrix} cos (2 t) \\ - 2 \cdot sin (2 t) \end{matrix})

\vec{x}' (3 \cdot \frac{π}{8}) = (\begin{matrix} cos (2 \cdot 3 \cdot \frac{π}{8} t) \\ - 2 \cdot sin (2 \cdot 3 \cdot \frac{π}{8}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos (3 \cdot \frac{π}{4}) \\ - 2 \cdot sin (3 \cdot \frac{π}{4}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{2}{\sqrt{2}} \end{matrix})

- \frac{1}{\sqrt{2}}

rausziehen somit bleibt

\vec{x}' (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

also ist die gesuchte tangente :

t : \vec{x} (t) = (\begin{matrix} \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

die Normal gleichung erhalte ich in dem ich die Richtungsvektor von der tangente vertausche und ein minus davor setzte sodas die vec(r_1)°vec(r_2)

= 0

n : \vec{x} (t) = (\begin{matrix} \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})

Ist das richtig was ich gemacht habe ?

ledum aktiv_icon

00:29 Uhr, 28.01.2018

Hallo

c)

ist richtig so, aber bei

b)

ist

y' = 0

falsch, lies noch mal meinen ersten post.

y' = 0

heisst waagerechte tangente!
Gruß ledum

sam24 aktiv_icon

13:10 Uhr, 28.01.2018

Hallo ledum ich weiß wirklich nicht was du meinst :

Roman-22

14:04 Uhr, 28.01.2018

>

Hallo ledum ich weiß wirklich nicht was du meinst :

Was ledum mit ihrem kryptischen
"b)du brauchst doch nur den Ableitungsvektor, der nur ein y− Komponente hat. und dann den entsprecheden Punkt. "
gemeint hatte ist, dass du bei Aufgabe

a)

(weiß nicht, wie ledum da auf

b)

und

c)

kommt) einen Ableitungsvektor suchst, dessen x-Komponente Null ist. Selbstverständlich hat dieser Vektor wie alle anderen eine

x -

und eine y-Komponente und nicht "nur ein y-Komponente".
Einfacher gesagt: Wenn die Tangente an einer Stelle parallel zur y-Achse ist, dann ist dort die momentane x-Änderung Null. Also muss

\frac{d x (t)}{d t} = 0

gelten.
Du scheinst aber

\frac{d y (t)}{d t} = 0

gesetzt zu haben und kommst damit auf die Stellen, in denen die Tangenten parallel zur x-Achse sind.
In deinem zweitem Versuch hast du die Nullstellen ermittelt und bist damit nur rein zufällig auf die richtigen Lösungen gekommen, da dort für diese Ellipse die Tangenten senkrecht sind.

Bei

b)

hast du die y-Koordinate des Punkts falsch. Du hast da irrtümlich noch mit

\frac{1}{2}

multipliziert. Außerdem macht sich

\frac{\sqrt{2}}{2}

anstelle von

\frac{1}{\sqrt{2}}

besser.

sam24 aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.01.2018

Hallo Roman-22
Vielen Dank . ich hab den Rechenfehler gar nicht bemerkt

Hier ist mein Rechenweg zu Aufgabe Teil

a)

\vec{x} (t) = \frac{1}{2} sin (2 t)

\vec{x}' (t) =

2/2cos(2t)=cos(2t)

(x)' (t) = 0

cos (2 t) = 0

t_{1} = \frac{π}{4}

t_{2} =

3pi/4

jetzt die werte in in

x (t)

einsetzen

x (t) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 t)

x (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

x (3 \cdot \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot 3 \cdot \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

jetzt noch für den

y -

Koordinaten ausrechnen

t \in y (t)

einsetzten

also:

y (\frac{π}{4}) = cos (2 \cdot \frac{π}{4}) = 0

y (3 \cdot \frac{π}{4}) = cos (2 \cdot \frac{π}{4}) = 0

somit sind meine gesuchte Punkte

P_{1} (\frac{1}{2}; 0)

und

P_{2} (- \frac{1}{2}; 0)

Ist das immer so das

x' (t)

parallel zu

y

achse ist und

y' (t)

parallel zu x-achse ?
Kann man das so Allgemein sagen ?

ledum aktiv_icon

16:09 Uhr, 28.01.2018

Hallo

x'

gibt die Änderung in

x

richtung an,

y'

die in

y -

Richtung, damit solltest du die antwort selbst wissen.
Gruß ledum

sam24 aktiv_icon

19:21 Uhr, 28.01.2018

Vielen Dank Leute das ihr mir geholfen habt .

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