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Tangente und Normale einer Zykloide (Parameter)

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Normal, Parameterdarstellung, Tangent, Zykloid

chaoshoney aktiv_icon

18:35 Uhr, 24.03.2015

Hallihallo,

ich dachte, ich hätte meine Schwierigkeiten mit der Parameterdarstellung von Funktionen überwunden, aber anscheinend gibt es da doch noch die ein oder andere Funktion, die mir zu schaffen macht. Eine davon lautet:

x = t - s i n (t), y = 1 - c o s (t)

.
Die Aufgabe dazu lautet:

Zu berechnen sind jeweils die Gleichungen für Tangente und Normale für die Funktion

x = t - s i n (t), y = 1 - c o s (t)

im Punkt

P_{O} (π / 2 - 1; y_{o})

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

20:42 Uhr, 24.03.2015

Aus dem gegebenen x-Wert des Po kann man zunächst t berechnen.

Die Ableitung

\frac{d y}{d x}

erhät man durch

\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}

rundblick aktiv_icon

20:45 Uhr, 24.03.2015

\to

für

x = \frac{π}{2} - 1

ist

\to y = 1

und

\to t = \frac{π}{2}

also ist dort die Steigung

\to \frac{d y}{d x} = \frac{sin (\frac{π}{2})}{1 - cos (\frac{π}{2})} = 1

ok?

.

chaoshoney aktiv_icon

20:50 Uhr, 24.03.2015

Aber wie berechne ich denn t? :/ Genau das ist ja mein Problem. Ich habe bei den vorherigen Parameterndarstellungen immer nach t umgestellt. Da aber meine eine Gleichung dieses Mal

x = t - s i n (t)

lautet, weiß ich nun nicht, wie ich korrekt umstellen soll.

t = x + s i n (t)

...dann ist mein t auf beiden Seiten

t = a r c s i n (- x + t)

und mein t ist drin... :/

Übersehe ich etwas?

Danke für Deine Antwort, rundblick! Warum verstehe ich nicht, wie man auf y kommt? Wie hast Du das gemacht?

pleindespoir aktiv_icon

21:01 Uhr, 24.03.2015

x = t - \sin (t)

x_{0} = \frac{π}{2} - 1

Das ist freilich nicht arithmetisch lösbar, aber zumindest mit einer Näherung.

Oder ein wenig probieren ...

Tipp: es ist ein Stammbruch von Pi

rundblick aktiv_icon

21:03 Uhr, 24.03.2015

.
"
Übersehe ich etwas?"

ja

\to

stupide Rechnerei führt nicht immer zum Ziel.

gelegentlich lohnt es sich , zu denken ..

\to

\to

bei deiner Aufgabe hat das abrollende Rad einen bekannten Radius..

\to

wo befindet sich der Mittelpunkt des Rades, wenn der Punkt auf
der Zykloide den gegebenen x-Wert hat ?

also...

.

chaoshoney aktiv_icon

21:14 Uhr, 24.03.2015

Aaah, ich verstehe endlich! :-) Da ich ja den Audruck

\frac{π}{2} - 1

für

x_{0}

habe, der eindeutig dem Ausdruck von

x = t - s i n (t)

entspricht, kann ich darauf schätzen, dass mein

t

entweder

1

oder

\frac{π}{2}

sein muss. Und da ja bekannt ist, dass der Sinus von

\frac{π}{2}

gleich

1

ist und

t = \frac{π}{2}

annimmt, habe ich des Rätsels Lösung.
Natürlich war das eigentlich nicht allzu schwer... aber ich hatte den Blick nicht für diesen Zusammenhang.
Tangente und Normale berechnen sollte kein Problem werden.

Vielen, vielen Dank für Eure gute Hilfe!

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