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Tangentengleichung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Normal, Tangentengleichung

DuUndIchMa aktiv_icon

09:02 Uhr, 08.11.2014

Eine Gasleitung verläuft wie der Graph der Funktion

g

mit g(x)=0,2(x+1)2−3.
Der Ort

O (00)

soll an die Gasleitung angeschlossen werden.

a)

Von einem Punkt

X (x 0 g (x 0))

aus soll dafür ein geradlinig verlaufendes Anschlussstück nach

O

verlegt werden. Zeigen Sie, dass die Länge

d

dieser Leitung

d (x 0) =

wurzel aus:

x (0) 2 + (g (x 0)) 2

ist.

b)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion

d

und bestimmen Sie zeichnerisch oder mithilfe des GTR die STelle

x 0

so, dass die Gasleitung möglichst kurz ist.

c)

Bestimmen Sie mithilfe der Normalen im Punkt (x0/g(x0))die kürzeste Gasleitung.
Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich mit de Aufgabe beginnen soll und bitte deshalb um Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Tangente / Steigung

Sams83 aktiv_icon

09:20 Uhr, 08.11.2014

Hallo,

hast Du Dir schon eine Skizze gemacht?

Ich nehme an, die Funktion soll

g (x) = 0,2 \cdot {(x + 1)}^{2} - 3

sein?

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10:07 Uhr, 08.11.2014

Ja so soll die Funktion lauten... und die Funktion wurde im buch abgebildet

Sams83 aktiv_icon

10:15 Uhr, 08.11.2014

Ok, gesucht ist also der Abstand

d

vom Nullpunkt zu einem beliebigen Punkt der Parabel.

Diesen kannst Du über Satz des Pythagoras bestimmen (siehe Skizze).

Damit kommst Du direkt auf die Formel für

d

in Abhängigkeit von

x 0

und

a)

ist schon erledigt. Ok?

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Femat aktiv_icon

10:28 Uhr, 08.11.2014

Das könnte schätzungsweise so aussehen:

Sams83 aktiv_icon

10:52 Uhr, 08.11.2014

Korrekt....ich wollte nur schrittchenweise vorgehen :-)

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12:12 Uhr, 08.11.2014

? könntest du mir vlt mal deinen schritt zeigen ?

DuUndIchMa aktiv_icon

12:15 Uhr, 08.11.2014

ich hab kein java, kann es deswegen nicht öffnen

DuUndIchMa aktiv_icon

12:27 Uhr, 08.11.2014

okay ich habe jetzt aber könnte ich nicht auch im Prinzip über die tangentengleichung und die normale draufkommen ?oder geht es nur mit dem Satz des Pythagoras?

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12:31 Uhr, 08.11.2014

okay ich habe jetzt aber könnte ich nicht auch im Prinzip über die tangentengleichung und die normale draufkommen ?oder geht es nur mit dem Satz des Pythagoras?und wie hast du es berechnet?

Sams83 aktiv_icon

12:53 Uhr, 08.11.2014

Hallo,

mit Normalen- und Tangentengleichung bekommst Du nur den Abstand der kürzesten Verbindung.
Du sollst in

a)

ja aber ganz allgemein den Abstand berechnen,

z . B

. auch für die Strecke wie ich sie eingezeichnet habe. Da kommst Du mit Tangente und Normale nicht weit....

Das Dreieck erkennst Du und ist auch klar, dass die Streckenlängen

x 0

und

g (x 0)

sind?

Dann:

d (x 0) = \sqrt{x_{0}^{2} + g^{2} (x 0)}

Klar?

Dann bei der

b)

diese Funktion zeichnen und das Minimum bestimmen.

DuUndIchMa aktiv_icon

13:02 Uhr, 08.11.2014

Ah okay ich habe verstanden! und was kommt bei

b)

raus? weil das was du in in dem Graphen gezeichnet hast kann ja nicht stimmen, da es nicht die kürzeste Gasleitung wär

Sams83 aktiv_icon

13:12 Uhr, 08.11.2014

Ne, genau, das war nur die Graphik, um

a)

zu verstehen. Damit kannst Du den Abstand

d

für jedes beliebige

x

bestimmen. Wenn Du diese Funktion zeichnest, sieht sie so aus. Das Minimum liegt etwa bei

x ~ 1,7

.

Hast Du einen grafikfähigen Taschenrechner? Da gibt's bestimmt ne Funktion, direkt das Minimum zu bestimmen. Da müsste als genauerer Wert

x = 1,68 .

. herauskommen.

DuUndIchMa aktiv_icon

13:17 Uhr, 08.11.2014

genau, ich hab dasselbe raus... bei der

c)

kommt bei mir für die länge

d = 2.295

raus ist das richtig? ich hab das nicht mit der normalen gemacht, wie würde das gehen?

Sams83 aktiv_icon

13:27 Uhr, 08.11.2014

Das Ergebnis ist korrekt.

Wenn Du die Normalen für verschiedene Punkte auf der Parabel zeichnest, siehst Du, dass nur eine den Nullpunkt schneidet (und das ist dann auch die, die die Strecke des kürzesten Abstands zwischen Nullpunkt und Parabel definiert).

Das Vorgehen wäre also:
- Stelle die Normalengleichung durch einen beliebiegen Punkt der Parabel auf (Steigung

m = - \frac{1}{g' (x)}

bestimmen)
- Setze

(0 | 0)

in die Normalengleichung ein, um

b

zu bestimmen.

Damit hast Du die Normalengleichung gegeben und Du kannst den Schnittpunkt mit dem Graphen bestimmen, um das

x

zu bestimmen.

DuUndIchMa aktiv_icon

13:51 Uhr, 08.11.2014

ich habe es nochmal mit der normalengleichung ausprobiert aber bekomme aus unverständlichen gründen

1,12

raus

Sams83 aktiv_icon

14:02 Uhr, 08.11.2014

Das ist schlecht. Willst Du Deinen Weg zur Korrektur hier hineinstellen?

DuUndIchMa aktiv_icon

14:18 Uhr, 08.11.2014

Ja klar :-)

y = - 1 : (0,4 x + 0,4)

mal

(x - u) + (0,2

mal

{(x + 1)}^{2} - 3)

0 = - 1 : (0,4

mal

0 + 0,4)

mal

(0 - u) + (0,2

mal

{(0 + 1)}^{2} - 3)

0 = - 1 : 0,4

mal

(0 - u) + 0,2 - 3

0 = 2,5 u - 2,8

u = 1,12

Maria222 aktiv_icon

14:29 Uhr, 08.11.2014

Hallo, ich habe gerade entdeckt, dass ich die selbe Aufgabe in meinem Buch habe und sie wahrscheinlich demnächst behandel werde und aus dem Grund verstehen wollte..
aber ich scheitere schon an der

a .)

Wenn wir das ,wie du gesagt hast ,mit dem Satz des Pythagoras lösen dann würde das ja bedeuten, dass

d = b^{2}

entspricht in dieser Zeichnung..?

Somit müssen wir die Gleichung

a^{2} + b^{2} = c^{2}

nach

b

umstellen und dann steht da

: b^{2} = c^{2} - a^{2} .

. inwiefern denkt sich das mit

d (x 0) = ...

. ??

Liebe Grüße, Maria.

Meine Frage war unüberdacht, jetzt ist es mir klar!!

Sams83 aktiv_icon

14:44 Uhr, 08.11.2014

Hallo Maria,

mein Post von

12 : 53

erklärt es eigentlich. Hier die Skizze
http//images.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/a1649a0ee112555020ad7a2e8cf4a262.png

In der Formel

a^{2} + b^{2} = c^{2}

ist

a = x 0, b = g (x 0)

und

c = d

Maria222 aktiv_icon

14:46 Uhr, 08.11.2014

habs verstaden, danke :-)

Maria222 aktiv_icon

14:51 Uhr, 08.11.2014

geklärt.

Maria222 aktiv_icon

15:10 Uhr, 08.11.2014

also ich hab hier

2,7

raus hahaha :-D) aber ich glaube das ist auch falsch

\land

Sams83 aktiv_icon

15:18 Uhr, 08.11.2014

@DuUndIchMa:

Die Normalengleichung lautet:

y = - \frac{1}{g'} (u) \cdot (x - u) + g (u)

Also:

y = - \frac{1}{0,4 \cdot u + 0,4} \cdot (x - u) + 0,2 \cdot {(u + 1)}^{2} - 3

Dann

(0 | 0)

einsetzen:

0 = \frac{u}{0,4 \cdot u + 0,4} + 0,2 \cdot {(u + 1)}^{2} - 3

Das nach

u

auflösen ist schon was schwieriger und schließlich auch nur numerisch lösbar glaube ich.

{(u + 1)}^{3} - 2,5 \cdot u - 15 = 0

Maria222 aktiv_icon

15:21 Uhr, 08.11.2014

ich versteh die Logik dahinter nicht.. wie kann aus der 1 über dem Bruch plötzlich

u

werden???

Sams83 aktiv_icon

15:33 Uhr, 08.11.2014

zu Deiner Frage, Maria:

x = 0

einsetzen und

- (- u) = u

Maria222 aktiv_icon

15:39 Uhr, 08.11.2014

Okey.. alles klar, dann versuche ich das ganze mal zu lösen :-)

Könntest du dir vielleicht auch mal meine Frage anschauen, hab ein Forum dazu eröffnet.. ich komm echt nicht weiter!!

DuUndIchMa aktiv_icon

17:15 Uhr, 08.11.2014

Hast du den kompletten Lösungsweg ...ich weiß zwar was ich davor falsch gemacht hab aber irgendwie kommt trotzdem was falsches raus

Sams83 aktiv_icon

17:22 Uhr, 08.11.2014

Wie oben um

15 : 18

geschrieben:

0 = \frac{u}{0,4 \cdot u + 0,4} + 0,2 \cdot {(u + 1)}^{2} - 3

0 = \frac{u}{0,4 \cdot (u + 1)} + 0,2 \cdot {(u + 1)}^{2} - 3

0 = u + 0,08 \cdot {(u + 1)}^{3} - 1,2 \cdot (u + 1)

0 = 12,5 + {(u + 1)}^{3} - 15 u - 15

{(u + 1)}^{3} - 2,5 u - 15 = 0

Das kann man nun noch ausmultiplizieren und zusammenfassen. Dann bekommt man:

x^{3} + 3 x^{2} + 0,5 x - 14 = 0

Den Rest muss man dann numerisch machen.

Maria222 aktiv_icon

17:24 Uhr, 08.11.2014

muss da als lösung für

x 1,7

rauskommen???

Sams83 aktiv_icon

17:32 Uhr, 08.11.2014

x = 1,67743 . .

Maria222 aktiv_icon

17:38 Uhr, 08.11.2014

ja, dann muss also das rauskommen, was wir bei der

b

berechnet haben??

Sams83 aktiv_icon

17:59 Uhr, 08.11.2014

Ja, wäre doof wenn was anderes bei herauskommt, wenn einmal "die Gasleitung möglichst kurz" sein soll und ein anderes Mal "die kürzeste Gasleitung" bestimmt werden soll :-)

Rein formal fragt

b)

nach dem x-Wert, wo die Gasleitung an die Parabel anschließt, und

c)

fragt nach der Gasleitung. In

c)

sollte man also zumindest auch noch die Länge ausrechnen,

z . B

. mit der Formel aus

a)

. Das bestimmte

x

muss aber in beiden Fällen dasselbe sein.

Maria222 aktiv_icon

18:02 Uhr, 08.11.2014

Ich habs jetzt mehrfach versucht auszurechnen aber es kommt immer was anderes raus :-D)
Magst du vielleicht mal deinen Lösungsweg reinstellen? Mein Hirn wird langsam Matsch

. .

Sams83 aktiv_icon

19:39 Uhr, 08.11.2014

Lösungsweg für den Abstand d?

d = \sqrt{x 0^{2} + g^{2} (x 0)}

g (x 0) = 0,2 \cdot {(x + 1)}^{2} - 3

~ 0,2 \cdot {(1,68 + 1)}^{2} - 3

~ 1,56

(x 0 | g (x 0)) = (1,68 | - 1,56)

Dann ist

d ~ 2,29

DuUndIchMa aktiv_icon

21:25 Uhr, 08.11.2014

danke :-) hab Gott sei dank alles verstanden!

Sams83 aktiv_icon

21:28 Uhr, 08.11.2014

Bitte, gern gechehen.

DuUndIchMa aktiv_icon

21:43 Uhr, 08.11.2014

ich hab numerisch die werte durch Substitution berechnet, aber da kam kein richtiges Ergebnis...ich verstehe einen schritt doch nicht von der Rechnung. wie hast du den Nenner von

1 : 0,4 \cdot (u + 1)

weggekriegt?

Sams83 aktiv_icon

03:34 Uhr, 09.11.2014

Ich habe mit dem Nenner multipliziert. Auf der linken Seite bleibt die 0 stehen, auf der rechten Seite musst Du jeden Summand damit multiplzieren.

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