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Tangentengleichung für Idioten
Schüler
Tags: Tangentengleichung
 
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Guten Abend, ich habe folgendes Problem und hoffe ihr könnt mir helfen. Zu mir: Ich absolviere momentan einen Lehrgang zum geprüften Wirtschaftsfachwirt, den ich im November abschließen werde. In allen Bundesländern entspricht der dadurch erworbene Titel der allgemeinen Hochschulreife. Mein aktueller Traum: Zurück in die Bundeswehr als Offizier. Mein Problem: Der Mathetest beim Einstellungstest. Ich habe nie eine gymnasiale Oberstufe besucht und war mathetechnisch bisher immer ein Krüppel. Ich habe mir das Curriculum für den Mathematikunterricht der . und . Klasse in Niedersachsen im Internet angeschaut und dort war dann eben direkt das erste Thema Tangentengleichung. Glaubt mir, ohne Vorkenntnisse ist es ziemlich unmöglich dafür irgendwelche Guides zu finden. Alles was ich bisher gefunden habe, baut auf einem Grundwissen auf das ich nicht besitze. Was ich mir bisher aneignen konnte: ist die Steigung, und verständlicherweise die Punkte auf den Achsen. am Anfang steht für die Funktion an sich und nach wird aufgelöst. Was eine Tangente ist, weiß ich nun auch Für die die das alles können, scheint meine Frage lächerlich zu sein. Aber könntet ihr mir vielleicht eine Gleichung erklären? Am besten mit dem Wissensstand eines Schülers der . Realschulklasse? Die Erklärungen in diesem Forum sind größtenteils schon zu hoch für mich... Danke schon mal an alle Antworten! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Du hast eigentlich schon fast alles gesagt. Allgemeine Geradengleichung ist: oder und sind besteimmte Koordinaten auf dieser Geraden und die Steigung dieser Geraden. Der Wert für gibt dir den y-Abschnitt vor oder einfacher ausgedrückt: in diesem Wert schneidet deine Gerade die y-Achse. Nun hast du also eine Tangente. Diese Tangente berührt . einen Kreis oder aber einen Funktionsgraphen in nur einem Punkt. Deshalb ist es die Tangente. Sie berührt eben nur. Idealerweise würdest du eben die und y-Koordinaten dieses Punktes in deine Tangentengleichung einsetzen. Jetzt bisschen weiter als Klasse Die Steigung bekommst du durch die erste Ableitung berechnet, in die du deine x-Koordinate einsetzt und nun müsstest du nur noch berechnen In ganz einfachen Aufgaben liest du als Schnittpunkt mit der y-Achse ab! Was genau möchtest du noch wissen? |
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Was ist denn mit erste Ableitung gemeint? Heißt das, . B. bei diesem Beispiel f(x)=m⋅x+b die Gleichung nach aufzulösen? Dann müsste ich ja theoretisch UND wissen, oder? |
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Also erste Ableitung kommt erst in der Oberstufe, ist ja nicht das was du hier wissen willst. Du wolltest Klasse . Ich habe das nur erwähnt, weil Tangenten eben oft in diesem Zusammenhang kommen. (Als Tangente in einem bestimmten Punkt eines Graphen) Du müsstest theoretisch 3 Werte kennen. y=mx+b Bei bekannten Koordinaten würde dir also immer noch die Steigung der Tangente fehlen. (Hier würde . die Ableitung aus der Oberstufe ansetzen, die gibt dir die Steigung eines Graphen in einem bestimmten Punkt. Das ist dann aber auch genau die Steigung deiner Tangente in diesem Punkt) Wenn du nur zwei Variablen einer Gleichung kennst, dann brauchst du eine zweite Gleichung, mit der du dann mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems . Additionsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren) eine Lösung für die fehlenden beiden Variablen erhälst. |
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Noch ein kleiner Tipp: Solche Gleichungen, wo du noch zwei Variablen suchst, sind . zwei Gleichungen, von denen du deine Steigung und deinen y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) kennst. Beispiel: 1. 2. Dir fehlen also in beiden Aufgaben ein x-Wert und ein y-Wert. Natürlich könntest du Problemlos irgendeinen beliebigen x-Wert einsetzen und würdest einen y-Wert erhalten, aber die Aufgaben wollen dann folgendes von dir: Wie ist der gemeinsame Schnittpunkt dieser beiden Geraden? Also müsstest du hier den gemeinsamen x-Wert und den dazugehörigen gemeinsamen y-Wert suchen! Einfacher: Den Punkt der für beide Gleichungen gilt. (Klar, die Graphen der Gleichungen schneiden sich ja in diesem ;-) ) |
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Danke schon mal für deine Antworten. Gefühlsmäßig fehlt mir einfach das Grundverständnis. Ich habe schon jemanden eine PN geschickt, die ich gerne nochmal hier posten würde. Ich denke, dass es so am besten geht: Hey, ich fang mal gleich an und nehme eine Internetseite mit Lerntipps als Beispiel. Ich glaub hieran kann ich dir am besten erklären, woran es noch hapert: www.helpster.de/tangentengleichungen-bestimmen-so-gehen-sie-schritt-fuer-schritt-vor_68393 i]Die meisten der Schule verwendeten) Funktionen lassen sich mit Tangentengleichungen annähern. Die zugrunde liegende Idee ist es, eine krumme oder sonst wie geformte Funktion in einem kleinen Bereich um einen Punkt herum durch eine Gerade anzunähern./i] Was bedeutet hier annähern? Eine Funktion ist in diesem Fall eine Parabel oder ein Kreis? i]Tangentengleichungen haben immer die Form mx dabei ist die Steigung der Tangente und der y-Achsenabschnitt./i] Ist eine Gleichung das selbe wie eine Funktion? Sorry für die elementare Frage... i]Sie haben die Funktion x³ eine Wendeparabel 3. Ordnung. Diese Funktion soll durch eine Tangente bei angenähert werden. Bestimmen Sie die Tangentengleichung. /i]Also nach meinem jetzigen Verständnis ist eine Funktion eben . B. eine Parabel. Die Funktion beschreibt dann ja wahrscheinlich das Aussehen der Parabel. Wofür steht denn das x³ und das ? Was sagen mir diese Werte über die Funktion? Und was bedeutet bei annähern? i]Zunächst berechnen Sie den Punkt auf der Funktion, zu dem (bisher) nur der Wert bekannt ist. Setzen Sie diesen x-Wert in die Funktion ein und Sie erhalten 1³ . Der Punkt heißt also Den Absatz versteh ich eigentlich komplett nicht... Was ist mit Punkt auf Funktion gemeint? Ein bestimmter Punkt im Koordinatensystem, bei dem nur einer der beiden Achsenpunkte bekannt ist? Wäre ja logisch, wenn man im Nachhinein berechnen soll. Im ersten Absatz wurde aber ja gesagt, dass die Formel IMMER das Grundgerüst für eine Tangentengleichung ist. Heißt das, dass diese Formel im Endeffekt IMMER den Wert für verrät? Und was hat man GENERELL davon, diesen Punkt zu errechnen? Was bringt das ganze praktisch oder meinetwegen auch nur theoretisch? Für Steigungen ist die erste Ableitung der Funktion zuständig. Die Ableitung heißt 3x² (Ableitungsregeln beachten).* Das heißt, dass die erste Ableitung einer Tangentenfunktion IMMER die Steigung angibt? Wie genau funktioniert die erste Ableitung? Also die Hochzahl mal 3 und dann die Hochzahl minus das ist klar. Aber warum verschwindet die einfach? i]Die Tangente lautet also bisher: die Unbekannte "b" kennen Sie noch nicht./i] Warum ist auf der vorherigen Formel auf einmal geworden und wo kommt plötzlich das her? i]8Setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die Tangentengleichung ein und Sie erhalten: und hieraus . 9Die Tangentengleichung lautet daher: Und was bringt mir der Punkt nun?! Ich weiß jetzt, dass die Tangente bei die selbe Steigung hat, wie die Funktion. Was bringt mir nun aber das ? Muss ich nun im Koordinatensystem mit verbinden? Bzw. geh ich Recht in der Annahme, dass automatisch null sein muss? Das sind für Sie bestimmt ganz grundlegende Dinge, aber ich bin wirklich etwas überfordert, da ich wie gesagt schon immer eine Matheniete war und aktuell versuche, direkt in Analysis auf Oberstufenniveau einzusteigen Ich hoffe Sie können sich die Zeit für meine Fragen nehmen und bedanke mich schon mal im Voraus. |
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Hallo, da bisher hier noch niemand weitergeholfen hat: "Was bedeutet hier annähern? Eine Funktion ist in diesem Fall eine Parabel oder ein Kreis?" Das Wort "Tangente" bedeutet: "die Berührende" (bzw. geometrisch: "berührende Gerade an eine Kurve"). Stell Dir eine beliebige Kurve vor (zB. eine Parabel) In jedem Punkt einer Kurve kannst Du eine bestimmte Tangente "anlegen". Jede dieser vielen Tangenten gilt in der Regel nur für einen einzigen Punkt der Kurve. Anschauliches Beispel: Stell Dir vor, Du legst eine "Gerade Holzlatte" (Dies sei ein Bild für "Tangente") an einen Baumstamm (Blicke auf eine (gedachte) Schnittfläche. Du schaust also auf die mehr oder weniger runden Jahresringe. Der Querschnitt durch die Baumrinde sei die Kurve). In der Regel wird die Holzlatte nur an einem Punkt die Rinde des Baumstamms berühren (Ausnahme: der Baumstamm hat irgendwo eine "Delle" dann können auch mal zwei Berührungspunkte zwischen Tangente und Baumstamm sein.) "Im Berührpunkt nähert sich die Kurve an die Tangente an". Es passt also an einer bestimmten Stelle zB. nur noch dein kleiner Finger zwischen Baumstamm und Holzlatte. Wenn Du noch näher Richtung Berührpunkt gehst, passt vielleicht nur noch Dein Taschenmesser zwischen Holzlatte und Baumstamm. Dies ist ein Bild dafür, dass eine Tangente die Kurve in einem Bestimmten Punkt "annähert". "Ist eine Gleichung das selbe wie eine Funktion?" Eine Funktion ordnet einfach (jeder) Zahl genau eine andere Zahl zu. Eine Funkltionsgleichung ist nur ein "Hilfsmittel" dafür. Dein Beispiel: Diese ordnet jeder rellen Zahl eine andere reelle Zahl zu. "Die Funktion beschreibt dann ja wahrscheinlich das Aussehen der Parabel". Genau so ist es. "Wofür steht denn das x³ und das ? Was sagen mir diese Werte über die Funktion? Und was bedeutet bei annähern?" Mach zuerst mal eine kleine Wertetabelle: Also für einige Zahlen (am besten in der Nähe des Berührpunktes) einsetzen und dann einfach ausrechnen: Jetzt trag diese Punkte in ein Koordinatensystem mit den Achsenbezeichnungen und ein. Wenn man noch einige Punkte dazwischen (insbesondere um herum) ausrechnen und eintragen würde, so erhält man die hier in diesem Post eingefügte Kurve als "Schaubild" bzw. "Graph" der Funktion (im Bereich von bis ;-)  |
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"Heißt das, dass diese Formel im Endeffekt IMMER den Wert für verrät?" Ja so ist es. verrät "eingesetzt und ausgerechenet" (sofern die Rechnung möglich ist) den zugehörigen Funkltionswert "Und was hat man GENERELL davon, diesen Punkt zu errechnen? Was bringt das ganze praktisch oder meinetwegen auch nur theoretisch?" Im letzten Post habe ich das Schaubild der Funktion (man sagt auch: den "Graph") gezeigt. Du siehst, jede Zahl ergibt eine bestimmte Zahl . Es handelt sich also um eine eindeutige Zuordnung von Zahlen. Deshalb: "Funktion" Wenn man alle Zahlenpaare als Punkte betrachtet und in ein Koordinatensystem einträgt, ergibt sich diese "schöne" Kurve als "Graph der Funktion". "Für Steigungen ist die erste Ableitung der Funktion zuständig. Die Ableitung heißt 3x² (Ableitungsregeln beachten).* Das heißt, dass die erste Ableitung einer Tangentenfunktion IMMER die Steigung angibt?" Bitte streiche "Tangenten" aus "Tangentenfunktion". Korrekt ist: "Das heißt, dass die erste Ableitung einer Funktion IMMER die Steigung angibt?". Es gibt hier eine Funktion deren Graph eine Kurve ist. Und es gibt eine Tangente an diese Kurve. Dies sind verschiedene "geometrische Dinge". Die erste Ableitung einer Funktion entspricht immer der Steigung der Funktion an der Stelle . (Im Berührpunkt sind die Steigung der Tangente und Steigung der Kurve identisch). "Wie genau funktioniert die erste Ableitung? Also die Hochzahl mal 3 und dann die Hochzahl minus das ist klar. Aber warum verschwindet die einfach?" bei dieser Art von Funktionen wird die Ableitung gebildet, indem man jeden Exponenenten von vor das entsprechende schreibt und den vorherigen Exponenten um EINS verringert: Also wird hier beim Ableiten aus das Die ist eine Konstante. Nach den Ableitungsregeln fällt sie deshalb beim Ableiten weg. (Begründung: Eine Funktion hat die Steigung Die Ableitung errechnet sich hier also zu Die " 0 " können wir einfach weglassen. Die Ableitung ist hier also ;-) |
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"Die Tangente lautet also bisher: die Unbekannte "b" kennen Sie noch nicht./i] Warum ist auf f′ der vorherigen Formel auf einmal geworden und wo kommt plötzlich das her?" Die GRUNDFORM einer GERADENGLEICHUNG ist immer y=mx+b mit der Geradensteigung und dem y-Achsenabschnitt . Es wurde hier die Ableitung (die ja der STEIGUNG der Kurve (bei jedem Wert entspricht) in die Grundform der Geradengleichung eingesetzt. Allgemein ergibt dies damit die "Allgemeine Tangente" an unsere Kurve mit der noch "allgemeinen" Steigung . An der Stelle ist die Steigung (da Damit ist die Tangentengleichung an der Stelle ist einfach bisher noch nicht bekannt! Deshalb wird es zunächst als Unbekannte angeschrieben. ;-) |
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Setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die Tangentengleichung ein und Sie erhalten: −1=3*1+b und hieraus b=−4. Die Tangentengleichung lautet daher: y=3x−4. "Und was bringt mir der Punkt nun?! Ich weiß jetzt, dass die Tangente bei (1|−1) die selbe Steigung hat, wie die Funktion. Was bringt mir nun aber das b=−4?" ok, zunächst fehlt hier mal der Punkt 5 aus der Ursprünglichen Erkärung (siehe Dein Link oben). Da dieser Schritt besonders wichtig ist, erkläre ich ihn nochmals etwas anders: Also: die Allgemeine Tangentengleichung an unsere Kurve ist soll einfach "Steigung der Tangente an der Stelle x" heissen. Jetzt setzen wir zunächst mal den x-Wert in die erste Ableitung ein: Also ist die Steigung der Tangente an der Stelle Eingesetzt in die Allgemeine Tangentengleichung ergibt dies . Jetzt fehlt immer noch der y-Achsenabschnitt Wir haben aber den Punkt durch den die Tangente "geht". Diese Werte für und setzten wir in ein. Umgeformt: Damit haben wir für diese Tangente durch endlich bestimmt und wir können sie als Gerade anschreiben. "Muss ich (1|−1) nun im Koordinatensystem mit (0|−4) verbinden?" Dies wäre eine der vielen Möglichkeiten die gesuchte Tangente an die Kurve bei in das Koordiantensystem mit einzuzeichnen. ;-) |
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Bevor ich mich auf den Weg mache, mische ich mich nochmal kurz ein ;-) (muss dann aber los und er hilft dir bestimmt gut weiter ;-) ) Was annähern bedeutet? Schau in meine Skizze. Die wollte ich dir noch mit auf den Weg geben, weil die vieles erklärt. (Bleiben gleich noch Verständnisprobleme,dann hilft er dir bestimmt weiter ;-) ) Ausgangspunkt sind die zwei roten Punkte. Durch diese geht die rote Gerade. Die Gerade hat die Gleichung allerdings ist das nur eine Sekante, weil sie den Graph nur scheidet, nicht aber so wie gewünscht berührt, also bringt mir die Gerade recht wenig, um die Steigung in einem Punkt herauszubekommen. Wann hilft uns eine Gerade denn? Nun, das passiert, wenn ich den einen Punkt immer näher an den anderen Punkt heranbringe. Ich bringe mein immer näher an heran. Ich nähere diesen so dicht an, dass ich die zweite Gerade zeichnen kann. Diese berührt den Graphen dann nur noch ein Punkt. Die Tangente hat dann die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Logikprobleme? Ändere ich mein in der vorgegebenen Funktionsgleichung dann ändert sich natürlich auch der Wert von und ich wandere schön auf dem Graphen entlang, bis ich den anderen Punkt erreiche. Das mache ich dadurch, dass ich den Grenzwert berechne . Aber nochmal zurück zur Steigung. Die Steigung der Sekante ist: (Differentialquotient - kennst du bestimmt schon aus der Schule, wo du mit Hilfe zweier gegebener Punkte die Steigung berechnen solltest. Nichts anderes passiert hier - Du betrachtest hier nur einen bestimmten Punkt und der hat eben die Gleiche Steigung wie die Tangente) lasse ich nun gegen laufen, dann bekomme ich die Steigung genau in dem einen Punkt heraus. (limes So bin raus! http//www.onlinemathe.de/forum/Differenzialquotient-berechnen . Warum Steigung? Nun: Du gehst eine bestimmte Strecke nach rechts und nach oben! Die Strecken berechnen sich eben aus der Differenz. Der Quotient kommt zustande, weil du ja nicht den Umweg über die Strecken gehst, sondern den Direkten Weg! So ;-) Bin jetzt echt weg!  |
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inzwischen habe ich oben bei meinen Posts noch einige Fehler verbessert. Bitte lies das ganze nun nochmal durch, vielleicht klären sich nun schon einigen Anschlußfragen. ;-) |
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Aaaaaah. Also erstmal riesen Dank, dass ihr euch so viel Mühe gemacht habt. Ich hab das Grundprinzip von Beginn an verkehrt herum betrachtet. Ich dachte, im Tangentengleichungen geht es um die Tangente, aber eigentlich ist diese ja nur das Hilfsmittel um die Steigung eines Graphen auszurechen. Sprich, der Graph steht im Mittelpunkt. Ich kann gerad nicht ganz so viel schreiben, weil ich noch auf der Arbeit bin, aber das wollte ich schon mal loswerden. Der Rest folgt heute Abend ;-) Hat jemand vielleicht eine kleine Probeaufgabe für mich, um mein Wissen zu testen? Und btw., sind Koordinaten . B. auch eine Funktion? ist hier doch auch abhängig von oder nicht? |
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Koordinaten eines Punktes sind zunächst mal keine Funktion. Denn wo steht in deinem Beispiel dass die 2 abhängig von ist. Wird hingegen "allgemein" die Darstellung bzw. mit verwendet, so wird natürlich einer Funktion "zugeordnet" und damit ist "abhängig" von . ;-) |
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Fangen wir mal ganz einfach an. 1. dürfte dir klar sein. zeigt dir deine Variable der Funktion an, setzt du dort eine Zahl ein, so kommts natürlich in die Funktion. Mach erstmal deine Ableitung bzw. Steigung für: (Heißt so viel wie reelle Zahlen dürfen eingesetzt werden, negative wie positive und du erhälst nur positive reelle Zahlen. Falls dir das nicht bekannt ist) Nun schreibste du a kann auch als oder bezeichnet werden. Wichtig ist, dass die Stelle ist, wofür du die Steigung berechnen möchtest und a dein Grenzwert, gegen den du gehst. Versuch das mal zu lösen, Beispiele findest du eine Menge im Internet und auch hier. Als nächstes nimmst du dann einfach mal (Die Zielmenge habe ich so angegeben, da dir die zwei sofort sagt, dass der Schnittpunkt bei ist und es geht gegen unendlich, weil die Parabel wegen des positiven Vorzeichens von nach oben geöffnet ist) So. Später ist es aber alles einfacher, hier gehts erstmal ums Verständnis, warum das so ist. Der erste Schritt zur Vereinfachung wäre die h-Methode. Könnte ich dir heute abend auch eine Skizze zu machen. Es geht aber noch viel einfacher ohne viele Rechnungen. Dies geht allerdings dennoch wegen des Differentialquotienten, der dir die Ableitung bildet. Es gibt dafür dann aber einfache Rechenregeln die Ableitung direkt zu finden, wo du nur noch die x-Werte für deine gesuchte Steigung eingeben musst. Mir gings hier wirklich nur ums grundlegende Verständnis. Wenn du dann mal soweit bist, dann machen wir die einfachen Regeln mal ;-) und du wirst sehen: Alles halb so wild, selbst bei grösseren bzw. komplexeren Termen! |
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Achja, Punkte brauchst du ja auch. Na dann such mal die Tangentengleichung für den Graphen im Punkt Bei der zweiten Gleichung kannst du diesen Punkt ebenfalls verwenden! Funke hats übrigens schon direkt gemacht mit den Ableitungen. Die resultieren wie gesagt aus dem Differentialquotienten und man kann zeigen, dass diese Regeln gelten, die du hier dann als nächstes lernst ;-) |
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"f:ℝ→ℝ+,f(x)=x2 (Heißt so viel wie reelle Zahlen dürfen eingesetzt werden, negative wie positive und du erhälst nur positive reelle Zahlen. Falls dir das nicht bekannt ist) Nun schreibste du limx→a=f(x)−f(a)x−a a kann auch als oder bezeichnet werden. Wichtig ist, dass die Stelle ist, wofür du die Steigung berechnen möchtest und a dein Grenzwert, gegen den du gehst." Das steht also für reelle Zahl? Also einfach irgendeine positive oder negative Zahl von 1 bis unendlich? Ich versteh leider auch nicht so ganz, was der Grenzwert ist. Laut wikipedia ja der Wert, an dem sich die Funktion annähert. Berechne ich nicht aber an dem Punkt der sich annähert meine Steigung? Ansonsten kann ich mir und schon im Koordinatensystem vorstellen. Das ist solchen Funktionen und a das selbe ist, hilft mir aber auch schon mal weiter; Das wusste ich vorher nicht. Dieses zeigt mir dann also die Steigung an und ist im Prinzip wie oder? "Als nächstes nimmst du dann einfach mal f:ℝ→2→∞),f(x)=x2+2.(Die Zielmenge habe ich so angegeben, da dir die zwei sofort sagt, dass der Schnittpunkt bei ist und es geht gegen unendlich, weil die Parabel wegen des positiven Vorzeichens von nach oben geöffnet ist)" Ich kann mit der Formel leider nicht viel anfangen... Was bedeutet das R? Und wo seh ich hier y? Links oder rechts? "Achja, Punkte brauchst du ja auch. Na dann such mal die Tangentengleichung für den Graphen im Punkt A(−2,f(x))" Das versteh ich leider überhaupt nicht |
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Genaugenommen sogar von Null bis unendlich. Das schreibt man auch Es ist nur die Ansage, was du einsetzen darfst, damit die Gleichung lösbar bleibt. Bei wäre zum Beispiel RR\0} , da man nicht mit 0 teilen darf. Und das nur herauskommt steht da auch, ist auch logisch, ist ja (minus mal minus gleich plus) Der Grenzwert ist der Punkt, den du einsetzt, weil du gegen ihn laufen willst. Weißt ja, was ein Grenzwert ist, also: bei und setzt du natürlich die Funktionen ein. Aber Achtung, du setzt zunächst nur dein a ein und löst dann auf! a ist dein Grenzwert, also der Punkt, gegen den du gehst. Am Ende lässt du dann laufen, also deinen Grenzwert. Du kannst das ganze auch oder nennen! Wie du willst. Ich finde nur, dass man sich a besser merken und einprägen kann! ;-) - Alles meint aber das gleiche! Das wäre also deine Steigung im Punkt einfacher gehts dann später mit den Ableitungsregeln, du sollst aber erst das hier verstehen. Nach den Ableitungsregeln gehts dann schneller: Die Ableitung ist f´(x)=2x Du willst die Ableitung und somit die Steigung im Punkt ? f´(-2)=2*(-2)=-4 ;-) Merke dir also einmal den Differentialquotienten, mit dem kommt man überhaupt auf die Regeln. Spiel das zwei drei mal durch. Wenn dus drauf hast, dann sag bescheid. Dann kommen wir erstmal zum Aufstellen der Tangentengleichung, was viiiiel einfacher ist ;-) - Einfach wirds nach dem durchspielen, dadurch prägst du dir das ein! . sry, hab die Nacht durchgemacht und gucke jetzt Fußball :-D) , falls ich durchn Wind bin) |
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. die Ableitungen sind von dem Differentialquotienten abgeleitet. Deshalb sollst nur verstehen, was dahinter steckt und warum Ableitungen dir die Steigung liefern. Nur deshalb spielen wir das hier durch ;-) Sonst wirst du dich tausend mal fragen, warum eine Ableitung die Steigung bringt. Außerdem kannste, wenn du mal ne Regel vergisst, auf alt bewährtes zurückgreifen, wenn auch mit mehr Arbeit verbunden ;-) |
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"Genaugenommen sogar von Null bis unendlich. Das schreibt man auch ℝ0" Also bedeutet von null bis unendlich oder nur null und unendlich wäre dann nochmal mit einem extra Zeichen angegeben? "Es ist nur die Ansage, was du einsetzen darfst, damit die Gleichung lösbar bleibt. Bei wäre zum Beispiel RR\0} , da man nicht mit 0 teilen darf. Und das nur ℝ+ herauskommt steht da auch, ist auch logisch, ist ja (minus mal minus gleich plus)" Dieses Symbol seh ich gerade zum ersten Mal. Ich nehme an, dass der Wert in den Klammern die Zahlen sind, die nicht verwendet werden dürfen. In dem von dir gezeigten Bruch ist es ja, wie du schon sagtest, logisch, da man nicht durch 0 teilen kann. Das kann ich auch noch nachvollziehen. Das heißt anscheinend, dass die reelle Zahl nur positiv sein kann. Wie du auf das X² kommst, versteh ich allerdings wieder nicht. "Der Grenzwert ist der Punkt, den du einsetzt, weil du gegen ihn laufen willst. Weißt ja, was ein Grenzwert ist, also: limx→af(x)−f(a)x−a bei und setzt du natürlich die Funktionen ein. Aber Achtung, du setzt zunächst nur dein a ein und löst dann auf! a ist dein Grenzwert, also der Punkt, gegen den du gehst. Am Ende lässt du dann x→a laufen, also deinen Grenzwert. Du kannst das ganze auch oder nennen! Wie du willst. Ich finde nur, dass man sich a besser merken und einprägen kann! ;-) - Alles meint aber das gleiche! limx→−2x2−(−2)2x−(−2)=limx→−2x2−4x+2=limx→−2(x−2)(x+2)x+2=limx→−2x−2=−4 Das wäre also deine Steigung im Punkt x!" Leider wusste ich nicht, was der Grenzwert ist. Nochmal zum Verständnis, ich hatte seit fast 5 Jahren kein Mathe mehr und das letzte was ich gelernt habe ist, wie man Winkel in einem Dreieck mit Sin, Cos und Tan ausrechnet :-P) Wer legt also den Grenzwert fest? Also angenommen ist gegeben und ich habe als Funktion eine Parabel an der ich die Steigung errechnen soll. Ist der Grenzwert dann der Punkt, an dem ich die Steigung ausrechne? Bzw. wenn ich mir ein 2 dimensionales Koordinatensystem vorstelle und die Koordinaten für gegeben sind, liegt der Grenzwert dann irgendwo rechts von meiner Funktion und ich versuche theoretisch den Wert immer kleiner werden zu lassen, bis sich aus meiner Sekante eine Tangente bildet? Ich hoffe gerad, ich hab jetzt die richtigen Begriffe verwendet :-D) Kannst du den Rechenweg von limx→−2x2−(−2)2x−(−2)=limx→−2x2−4x+2=limx→−2(x−2)(x+2)x+2=limx→−2x−2=−4 bitte nochmal Schritt für Schritt erklären? Wo hast du denn gerad die Werte für a hergenommen? "Merke dir also einmal den Differentialquotienten, mit dem kommt man überhaupt auf die Regeln. Spiel das zwei drei mal durch. Wenn dus drauf hast, dann sag bescheid. Dann kommen wir erstmal zum Aufstellen der Tangentengleichung, was viiiiel einfacher ist ;-) - Einfach wirds nach dem durchspielen, dadurch prägst du dir das ein!" Differentialquotient = Ableitung? |
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edit: (da unsauber geschrieben) war die Beispielaufgabe, die ich dir gab, weil du eine haben wolltest Ja, der ist deine Ableitung. |
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So, bevor es durcheinandergerät. Hier machst du die Null dazu, weil du zunächst nur an die positiven Werte denkst und diese als Zielmenge vorgibst, aber wenn du 0 einsetzt, dann erhälst du auch 0. Würdest du aber nur bei der Zielmenge angeben, wäre die 0 nicht mit drin und deine Zielmenge wäre nicht richtig gewählt, weil 0 nicht in nicht enthalten ist! Gleiches gilt für würdest aber nicht schreiben , da klar ist, das die 0 enthält! Anders siehts bei aus. Manche schreiben und meinen die natürlichen Zahlen mit der 0 und andere schreiben extra weil für sie in die 0 nicht enthalten ist. So, das war denke ich erstmal das wichtigste zu Definitions- und Zielmengen (hoffe ich :-D) ) |
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Ich zeige dir jetzt mal, wie man durch den Differantialquotienten die Ableitung erhält. Ich nutze jetzt aber mal die h-Methode dafür...lass dich davon nicht irritieren, diese ist sogar leichter. Ich zeige dir auch in der gleichen Skizze, was sich verändert, wenn wir benutzen, es ist nichts großartig anderes. Wir nehmen wieder die Beispielfunktion Aus wird nun Also mit ist unsere Ableitung f´( Und jetzt könntest du damit jeden x-Wert für den du die Steigung berechnen willst einsetzen! . Dafür gibts dann aber auch Regeln, so dass du diesen aufwendigen Weg nicht gehen musst. Warum h? Nun ganz einfachaus wird einfach siehe Skizze - und aus a wird Was passiert, siehst du wieder in der Skizze. Und es wird auch klar, warum gegen 0 laufen muss, die Strecke auf der x-Achse soll ja möglichst klein werden ;-) Sobald du das verstehst, kommen die einfachen Sachen :-D) und die direkten Wege!  |
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