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Tangentenvektoren und Metrikkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Polarkoordinaten, Vektorraum

JDaniels aktiv_icon

17:03 Uhr, 12.01.2013

Hallo zsm,
habe eine Verständnisfrage zu dem oben genannten Thema.
Aufgabe:

Für die Polarkoordinaten eines Vektors

r = r (r, φ)

gilt:

r (r, φ) = r cos (φ) e 1 + r sin (φ) e 2

a)

Berechnen Sie die Tangentenvektoren für Polarkoordinaten.

Das ist noch nicht so mein Problem
Lösung:
einmal nach

r

ableiten einmal nach

φ

ableiten (Ableitungsregeln beachten)

\to g 1 =

dr/dr

= cos (φ) e 1 + sin (φ) e 2

g 2 =

dr/dphi

= - r sin (φ) e 1 + r cos (φ) e 2

Bestimmen Sie die Metrikkoeffizienten für Polarkoordinaten.

[

gij]=[gi *gj] (ansatz) jetzt berechne ich eben

g 11, g 12, g 21, g 22

g 11 = {cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ);

da weiß ich, dass der ausdruck

= 1

ist

g 12 = - r \cdot cos (φ) sin (φ) + r \cdot sin (φ) cos (φ)

und das soll 0 ergeben

g 13, g 22

nach dem selben schema.

so jetzt zur Frage:
Ich verstehe nicht wieso

g 12

bzw

g 21

gleich 0 ergeben soll.
kann mir da bitte mal einer auf die sprünge helfen. oder kann es sein dass ich den metrikkoeffizienten falsch berechne?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lepton

03:02 Uhr, 13.01.2013

Du weisst doch bestimmt, dass aus der Definition des Metrikkoeffizienten die Symmetrie des Skalarprodukts folgt und somit auch die Symmetrie der sich daraus ergebenden Matrix. Also müssen die Elemente des Nebendiagonalen identisch sein. Soweit zur identität der Nebendiagonalelemente der symm. Matrix. Überlege mal jetzt ganz scharf, in welchem geometrischen Verhältnis stehen den die Tangentenvektoren (bilden zugleich deine kovariante Basis) zueinander?
Danach dürfte es dir hoffentlich klar werden.

JDaniels aktiv_icon

16:35 Uhr, 13.01.2013

Danke erstmal für deine Antwort.

In welchem geometrischen Verhältnis die Tangentenvektoren stehen?

- \to

sind sie orthogonal zueinander? und somit

cos (90) = 0

?

Wäre dankbar wenn du mir da nochmal was zu sagen könntest. Iwie hab ich da immer noch ein kleines Denkproblem.

lepton

19:42 Uhr, 13.01.2013

Genau das meine ich! Tangentenvektoren sind orthogonal zueinander,

< g_{1}, g_{2} > = 0

. Sie spannen quasi beide den Tangentialraum auf, in dem der eine in Richtung r und der andere in Richtung

φ

zeigt.

JDaniels aktiv_icon

22:10 Uhr, 13.01.2013

Danke für den Tip, hat mir sehr geholfen.

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