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Tangentialebene
Universität / Fachhochschule
Differentialtopologie
Tags: Differentialtopologie
 
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Man soll die Basis des Tangentialraums am Punkt p bestimmen. Dabei ist M eine 2-dim. untermannigfaltigkeit des . Der ansatz war jtzt die jacobi matrix der funktion f am punkt p zu bestimmen und davon den Kern. Also ,da man die basis bestimmen soll hab ich jz einfach die basis vom kern der jacobi-matrix bestimmt. ist das korrekt so? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wie hängt jetzt mit Mannigfaltigkeit zusammen? |
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f ist die funktion die die mannigfalitgkeit beschreibt. also die mannigfaltigkeit ist die menge aller x aus die die funktion f erfüllen. |
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Punkte können Funktion nicht erfüllen, das geht gar nicht. Sie können vielleicht Gleichung erfüllen, aber keine Funktion. Meinst du vielleicht, dass die Mannigfaltigkeit durch die Abbildung definiert ist? Dann ist eine Basis des Tangentialraumes im Punkt einfach das Paar und . S. hier auf Seite 8: www.mathi.uni-heidelberg.de~ntreib/Differentialgeometrie_Skript_Tim_Adler_WS1213.pdf |
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ich denke ich drücke mich falsch aus, aber ich weiss auch nicht wie ich es richtig ausdrücken kann deswegen hier die aufgabe. |
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Ah, ok. Die Mannigfaltigkeit ist doch durch eine Gleichung definiert, mit . Eine einfache Möglichkeit ist in diesem Fall zu der Darstellung zu übergehen, die ich oben benutzt habe: . Damit reicht es zu sehen, dass auf gilt, also muss die Form haben und die partiellen Ableitungen liefern eine Basis: und . Alternativer Weg wäre, zuerst man den Normalenvektor zu der Tangentialebene zu berechnen. Dazu ist die Originalform am besten geeignet, denn dieser Vektor wird durch grad gegeben. Für unser ist dies der Vektor . Als Basis der Tangentialebene kann man beliebige zwei linear unabhängige Vektoren nehmen, die senkrecht zu stehen. Also gesucht sind Vektoren mit . Hier gibt es große Willkür, denn Basis ist überhaupt nicht eindeutig. Aber wenn man und wählt, kommt man gerade auf den Vektor , denn wir schon oben hatten. Und die Wahl von und liefert . Aber wie gesagt, es gibt auch andere Basen in der Tangentialebene. Über diesen letzten Verfahren s. hier: de.wikipedia.org/wiki/Tangentialebene |
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Ah, ich denke, dass du mit Jacobi-Matrix den Gradienten meinen könntest. Und dann wäre der Kern davon gerade die Vektoren, die zu dem Gradient senkrecht stehen. Also wenn du das meintest, dann war das korrekt. Nur dass kaum jemand beim Gradienten von Jacobi-Matrix spricht, denn Matrizen nur aus einer Spalte oder Zeile werden fast immer Vektoren genannt. |
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Alles klar danke für die ausführliche antwort. |
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