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Tangentialebene

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Lauralisa aktiv_icon

17:49 Uhr, 05.09.2017

Hallo kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?
Wie soll ich die Tangentialebene berechnen ?
Und wie kann ich mir die Tangentialebene vorstellen ?
Ist das die Menge der Tangentenvektoren?

Mein Ansatz für die

a)

wäre das ich erstmal die Partiellen Ableitungen berechne

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:49 Uhr, 05.09.2017

Hallo,
dein Vorgehen zu a) ist OK, wenn du die Ableitung der Kurve nach

t

meinst.
Der Tangentialraum an eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit wird ja von einem
Tangentenvektor aufgespannt, ist also 1-dimensional.

Kleine Frage: woher kommt diese Aufgabe? Sie enthält ja mindestens 2 Fehler :(

Lauralisa aktiv_icon

19:04 Uhr, 05.09.2017

Hallo ermanus :-)

Ich bin aber etwas verwirrt. Im internet auf der Seite massmatics wird gezeigt wie die Tangentialebene berechnet wird und da wird gezeigt das man die Partielle Ableitung berechnen muss von jeder variablen und diese dann einsetzen muss.

Also genauer siehst du es im Bild.

Soll ich genau so vorgehen ?

Zu deiner Frage: Die Übungen sind vom Modul Analysis 2. Unser Prof. Ladet diese hoch.
Welche fehler sind denn enthalten

: O

ermanus aktiv_icon

19:36 Uhr, 05.09.2017

φ

bildet in den

ℝ^{3}

ab (also Schreibfehler)
2. Statt "Ferner sei

M :=

..." muss es heißen "Dann ist

M := . . .

.

Deine massmatics-Seite mag ja recht gut sein, aber die Voraussetzungen dort sind doch
ganz andere als die bei dir. Deine Mannigfaltigkeit ist z.B. 1-dimensional.
Dann ist der Tangentialraum keine Tangentialebene, sondern eine Gerade, also
ein 1-dimensionaler Raum. Vergleiche mal kritisch (!) die Voraussetzungen der
Aufgabe mit den Voraussetzungen der Internet-Lösung. Ich schätze, da passt nichts zusammen :(

Atlantik aktiv_icon

19:40 Uhr, 05.09.2017

Letzte Aufgabe:

f (x, y) = x + y,

wobei

x^{4} + y^{4} = 1

ist.

y^{4} = 1 - x^{4}

y = \pm \sqrt[4]{1 - x^{4}}

1 .) f (x) = x + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{4}}

f

(x) = 1 - \frac{4 x^{3}}{4 \cdot {(1 - x^{4})}^{\frac{3}{4}}} = 1 - \frac{x^{3}}{{(1 - x^{4})}^{\frac{3}{4}}}

1 - \frac{x^{3}}{{(1 - x^{4})}^{\frac{3}{4}}} = 0 | \cdot {(1 - x^{4})}^{\frac{3}{4}}

{(1 - x^{4})}^{\frac{3}{4}} - x^{3} = 0 | \sqrt[3]{}

{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{4}} = x |^{4}

1 - x^{4} = x^{4}

x^{4} = \frac{1}{2}

x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \to y = . .

.

Art des Extremums

f

´ ´

(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}) = . .

f

´ ´

(- \frac{1}{\sqrt[4]{2}}) = . .

2 .) f (x) = x - {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{4}}

. .

.

mfG

Atlantik

Lauralisa aktiv_icon

20:01 Uhr, 05.09.2017

Hm du hast recht :-D)
Ausserdem geht es in der Aufgabe um den Tangentialraum und nicht um die ebene :-D)

Partielle Ableitung:

Cos(t)

- t \cdot sin (t)

Sin(t)

+ t \cdot cos (t)

1

Ist das nun der Tangentialraum ?
Was kann ich mir darunter vorstellen ?

Hey Atlantik sehr nett von dir aber leider bringt mir eine Lösung nicht viel ich möchte viel lieber den Stoff verstehen. :-)

ermanus aktiv_icon

20:38 Uhr, 05.09.2017

Du musst jetzt natürlich

\frac{π}{4}

für

t

einsetzen; denn du möchtest ja einen
Tangentialvektor im Punkt

φ (π / 4)

herausbekommen und nicht an einer beliebigen Stelle.

Lauralisa aktiv_icon

20:57 Uhr, 05.09.2017

Ja das stimmt natürlich.

0,15

1,26

1

Stimmt das ?
Also ein Vektor. Wie kann ich mir diesen Tangentialraum vorstellen?

ermanus aktiv_icon

21:13 Uhr, 05.09.2017

Also ich würde den Vektor exakt angeben:

(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - π / 4) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + π / 4) \\ 1 \end{array})

.

Dieser spannt den 1-dimensionalen Tangentialraum

T_{a} (M)

auf:

T_{a} (M) = {x \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - π / 4) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + π / 4) \\ 1 \end{array}) ∣ x \in ℝ}

.

Das ist die Tangente an die nach oben immer breiter werdene Schraubenlinie

φ

im Punkt

π / 4 \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{array})

(in den Ursprung verschoben).

Lauralisa aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.09.2017

hm ok ich verstehe.
Was ist der Unterschied zwischen Tangentialraum und Tangentialebene ?
ist es der unterschied das wir im Tangentialraum uns im 3 Dimensionalen befinden und in der
Tangentialebene befinden wir uns im 2 Dimensionalen ?

Wenn wir nicht eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit hätten sondern eine 2-dimensionale wie müsste ich dann den Tangentialraum berechnen ?

zu

b)

wie muss ich hier vorgehen ?

ermanus aktiv_icon

22:01 Uhr, 05.09.2017

Tangentialraum ist der allgemeine Begriff:
1-dimensionaler Tangentialraum = Tangente (Tangentialgerade)
2-dimensionaler Tangentialraum = Tangentialebene
3-dimensionaler Tangentialraum = Tangentialraum ;-)
4-dimensionaler Tangentialraum = 4-dim ... (ab hier keine eigenen Namen)

Die Dimension des Tangentialraumes ist gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit.

Tangentialräume an Kurven sind also 1-dimensional,
Tangentialräume an Flächen sind 2-dimensional, etc.

Die Dimension der Mannigfaltigkeit ist bei Parameterdarstellung die Anzahl
der Parameter, in unserem Falle gibt es nur den einen Parameter

t

,
daher ist unsere Mannigfaltigkeit 1-dimensional, also auch unser Tangentialraum.

Hat man z.B. eine Fläche mit einer 2-Parameterdarstellung (

t_{1}, t_{2}

),
etwa

φ : ℝ^{2} \to ℝ^{3}, (t_{1}, t_{2}) \mapsto φ (t_{1}, t_{2})

Dann spannen im Punkt

(a_{1}, a_{2})

die beiden Vektoren

\partial φ / \partial t_{1} (a_{1}, a_{2})

und

\partial φ / \partial t_{2} (a_{1}, a_{2})

den 2-dimensionalen Tangentialraum, also die Tangentialebene auf.

Kleine Pause, dann komme ich zu b) ;-)

ermanus aktiv_icon

22:23 Uhr, 05.09.2017

Bei b) musst du prüfen, ob die Punkte

(x, y, z)

deines Kurvenstücks

M_{a}

die Gleichung

H (x, y, z) = 0

erfüllen, d.h. ob

H (t \cos (t), t \sin (t), t) = 0

ist für alle

t \in] 0, \frac{π}{2} [

.
Viel Spaß dabei ;-)

Lauralisa aktiv_icon

00:19 Uhr, 06.09.2017

Wow eine sehr schöne Erklärung also haben wir in unserem Fall eine gerade als Tangente :-)

zu

b)

achso eigentlich ist das Logisch wie du denkst .. wenn es eine Teilmenge ist dann muss es natürlich die Gleichung

H = 0

erfüllen sehr interessant :-D)

bevor ich die Aufgabe Poste oder mich dran mache :

wie poste ich Matritzen ?

ermanus aktiv_icon

09:55 Uhr, 06.09.2017

Hallo,

hier das Beispiel zur Darstellung von Matrizen (findest du am Ende der Liste,
die unter "Welche Latex-Befehle werden unterstützt"):

\left(\begin{eqnarray} x_1 & x_2 & x_3\\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{eqnarray}\right)

einen Dollar davor und einen Dollar danach liefert

(\begin{array}{rcl} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{array})

Lauralisa aktiv_icon

11:09 Uhr, 06.09.2017

Super Danke ! :-)

H(t*cos(t), t*sin(t),t)=

(\begin{array}{rcl} t^{2} * c o s (t)^{2} + t^{2} * s i n (t)^{2} - t^{2} \\ t - a r c t a n (t * s i n (t) / (t * c o s (t)) \end{array})

(\begin{array}{rcl} t^{2} * (c o s (t)^{2} + s i n (t)^{2} - 1) \\ t - a r c t a n (t a n (t)) \end{array})

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \end{array})

so müsste es doch stimmen oder ?

ermanus aktiv_icon

11:12 Uhr, 06.09.2017

Jawoll,
das habe ich auch so :-)

Lauralisa aktiv_icon

11:15 Uhr, 06.09.2017

Das freut mich sehr :-)

wie soll ich die c) machen ?

ermanus aktiv_icon

11:20 Uhr, 06.09.2017

Der Normalraum ist das orthogonale Komplement des Tangentialraumes.
Dein

T_{a} (M)

wird von einem Vektor aufgespannt. Nun suche 2 Vektoren, die orthogonal
zu diesem Vektor sind und von einander linear unabhängig. Diese bilden dann eine
Basis von

N_{a} (M)

Lauralisa aktiv_icon

11:37 Uhr, 06.09.2017

müssen es 3 Vektoren sein weil die Funktion in den R^3 abbildet ?
Der Normalenraum ist also das Komplement vom Tangentialraum das senkrecht zum Vektor steht, das unser Tangentialraum aufspannt. hmm
Also muss ich 2 Vektoren finden, sodass das Skalarprodukt 0 ergibt und die Vektoren unabhängig voneinander sind.
muss ich jetzt einfach suchen und "raten" oder was bestimmtes ausrechnen ?

ermanus aktiv_icon

12:03 Uhr, 06.09.2017

Zwei zu einem Vektor

(a, b, c)^{T}

senkrechte Vektoren kannst du ganz schnell ;-) angeben,
z.B.:

(- c, 0, a)

und

(0, - c, b)

. Das erkennt man durch "intensives Hingucken".

Lauralisa aktiv_icon

12:26 Uhr, 06.09.2017

Dann muss ja der Normalenraum dieser sein :

Na(M)= {x,y,s | x*

(\begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \frac{π}{4}) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \frac{π}{4}) \\ 1 \end{array})

+ y*

(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \frac{π}{4}) + s \end{array})

(\begin{array}{rcl} 0 \\ - 1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \frac{π}{4}) \end{array})

}

ich vermute das da noch einige schreibfehler sind.-

ermanus aktiv_icon

12:58 Uhr, 06.09.2017

Du hast den Faktor

s

vor dem letzten Vektor vergessen.
Den ersten Vektor mal

x

musst du natürlich weglassen; denn der ist ja tangential und nicht normal. Du bekommst ja auch sonst den ganzen

ℝ^{3}

heraus und alle deine Mühe
wäre sinnlos gewesen. Nur die beiden letzten Vektoren spannen die Normalebene auf.

Lauralisa aktiv_icon

13:01 Uhr, 06.09.2017

Achso okay Danke.
wie soll ich die nächste Aufgabe machen ? Es gibt überhaupt kein Hinweis wie ich die Aufgabe machen soll. hm..

ermanus aktiv_icon

15:03 Uhr, 06.09.2017

Du hast sozusagen 2 Standardmöglichkeiten, diese Aufgabe anzugehen.

1. Mache es so, wie Atlantik das vorschlägt: drücke

y

durch

x

aus
und suche das Maximum so, wie man es in der Schule gelernt hat.
2. Verwende das Lagrange-Verfahren.

(3. Vielleicht nur für mich geeignet: Betrachte die Höhenlinien von

f

und
den Gradienten

(1, 1)

. Dann liefert die Symmetrie der Menge

x^{4} + y^{4} = 1

(zu den Ecken eines Quadrates hin verzerrter Kreis) sofort, dass das Maximum
vorliegt bei

x = y

, also

2 x^{4} = 1

, also bei

x = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

.
Ich habe auf diese Weise die Aufgabe ohne Rechnung einfach im Kopf gelöst,
vermute aber, dass das für dich nicht in Frage kommt ;-) )

Lauralisa aktiv_icon

15:16 Uhr, 06.09.2017

Ich würde es gerne mit der Lagrange Methode versuchen aber was ist hier die Nebenbedingung ?
(Ich nehme mal jetzt an das es x+y ist ? )

Lauralisa aktiv_icon

16:14 Uhr, 06.09.2017

Ich habe jetzt doch als Nebenbedingung

x^{4} + y^{4} - 1 = 0

genommen.

Ich komme auf

x_{1} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

x_{2} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

y_{1} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

y_{2} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

k_{1} = - \frac{50}{119}

k_{2} = - f r a c 50119

k_{3} = - \frac{50}{119}

k_{4} = \frac{50}{119}

k_{1} = k_{2}

habe ich raus indem ich in die erste Gleichung x eingesetzt habe

k_{2} = k_{3}

habe ich raus indem ich in die 2 gleichung y eingesetzt habe

jetzt habe ich die Hesse Matrix und zwar

(\begin{array}{rcl} 12 k x^{3} & 0 \\ 0 & 12 y^{3} \end{array})

Meine frage ist nun welche Werte k,x,y soll ich einsetzen ? In welcher Kombination ?
Ich habe soviele ... Ich könnte ja x_1 mit y_2 und K_1 einsetzen und könnte x_1 mit y_1 mit K_2 einsetzen usw bin etwas verwirrt

ermanus aktiv_icon

16:56 Uhr, 06.09.2017

Deine interessanten Punkte sind

(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, \frac{1}{\sqrt[4]{2}})

und

(- \frac{1}{\sqrt[4]{2}}, - \frac{1}{\sqrt[4]{2}})

.
Zum ersten Punkt gehört

k ?

und zum zweiten

k ?

. Das solltest du noch mal genau zuordnen.

P.S.: in der Hesse-Matrix muss es

. . . x^{2}

und

. . . y^{2}

heißen.

Lauralisa aktiv_icon

17:09 Uhr, 06.09.2017

warum zu dem Punkt gibt

x_{1} = + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

gibt es doch 2 Punkte und zwar

y_{1} = + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

und

y_{2} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

und für

x_{2} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

gibt es auch 2 Punkte also

y_{3} = + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

und

y_{4} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

warum ist z.B für

x_{1} = + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

nur der Punkt

y_{1} = + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}

interresant ?

ermanus aktiv_icon

17:13 Uhr, 06.09.2017

Du hast

f_{x} = 1 + 4 k x^{3} = 0

und

f_{y} = 1 + 4 k y^{3} = 0

, d.h.

4 k x^{3} = 4 k y^{3} \Rightarrow x^{3} = y^{3} \Rightarrow x = y

Lauralisa aktiv_icon

17:21 Uhr, 06.09.2017

Achso ja dann muss ich darauf achten das ist sehr wichtig :(

Für den ersten Punkt ist dann

k = \frac{50}{119}

und für den 2 Punkt

k = - \frac{50}{119}

stimmt das ?

ermanus aktiv_icon

17:25 Uhr, 06.09.2017

Es ist doch

1 + 4 k x_{1}^{3} = 0

, infolgedessen im ersten Punkt

k < 0

und entsprechend im zweiten Punkt

k > 0

. Glücklicherweise ist das so;
denn dann haben auch die Hessematrizen die richtige Definitheit.

Lauralisa aktiv_icon

17:33 Uhr, 06.09.2017

DU hast recht ich mache die ganze Zeit Fehler :(

(\begin{array}{rcl} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array})

d.h Negativ Definit daraus Folgt Isolierte Maximum.

und im 2.Punkt haben wir wieder einen Isolierten Maximum

ermanus aktiv_icon

17:41 Uhr, 06.09.2017

Nein: im zweiten Punkt

(- . . ., - . . .)

haben wir ein isoliertes Minimum:
dort ist

k > 0

und denke daran, dass in der Matrix "

. . . x^{2}

und "

. . . y^{2}

steht,
die ist also positiv definit.

Lauralisa aktiv_icon

17:51 Uhr, 06.09.2017

ok vielen lieben Dank Ermanus :-)

Lauralisa aktiv_icon

23:42 Uhr, 19.09.2017

Hey Ermanus,

Wenn

M

eine 2-dimensionale untermannigfaltigkeit des

R^{3}

ist wie müsste ich dann vorgehen habe ich mich eben gefragt ? hmm.. wie berechne ich dann den Tangentialraum ?

ermanus aktiv_icon

12:45 Uhr, 20.09.2017

Hallo,

M

kann auf zwei verschiedene Weisen definiert sein:
1. Durch eine Parameterdarstellung, also als Bildmenge

M = {Φ (s, t) \in ℝ^{3} ∣ s \in S, t \in T}

, wobei

Φ

eine (meist differenzierbare) Abbildung

Φ : S \times T \subseteq ℝ^{2} \to ℝ^{3}

ist, oder
2. Als Nullstellenmenge einer (meist differenzierbaren) Funktion

f : ℝ^{3} \to ℝ :

M = {(x, y, z) ∣ f (x, y, z) = 0}

.

Sei nun

P \in M

, dann wird der Tangentialraum (also in unserem 2-dim. Fall)
die Tangetialebene in

P

folgendermaßen bestimmt:

im Fall 1:
zu

P

gehören lokale Parameter

s_{0} \in S, t_{0} \in T

, so dass

P = Φ (s_{0}, t_{0})

ist.
Die beiden Vektoren

\frac{\partial Φ}{\partial s} (s_{0}, t_{0}), \frac{\partial Φ}{\partial t} (s_{0}, t_{0})

spannen die Tangentialebene auf.

Im Fall 2:

P

habe die Koordinaten

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

. Man bildet den Gradienten von

f

P

\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0})

. Dieser Vektor spannt den Normalraum im Punkte

P

auf. Die Tangentialebene ist das orthogonale Komplement

\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0})^{⊥}

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