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Tangentialfläche, Richtungen

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Lexiii92 aktiv_icon

13:54 Uhr, 12.10.2016

Gegeben sei eine Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \to \sqrt{x^{2} + y^{2}}

(A)

Skizzieren Sie diese Funktion. Skizzieren heißt: Achsen und perspektivische Darstellung der Funktion müssen nicht maßstabsgerecht sein. Bitte groß und deutlich zeichnen, so dass die Antworten

(C)

und

(D)

gut eingezeichnet werden können.

(B)

Berechnen Sie die Tangentialfläche am Punkt

(1,1)

(C)

Bestimmen Sie die Richtung am Punkt

(1,1),

in der sich

f

am stärksten ändert und geben Sie den Wert einer Größe an, die diese Änderung quantitativ beschreibt.

(C . 1)

Welche anschauliche Bedeutung hat diese Größe?

(C . 2)

Zeichnen Sie die Richtung (Skizze) in Teil

(A)

ein. Es muss ganz klar erkennbar oder in Worten erklärt sein, wie diese Richtung im Raum liegt!

(D)

Bestimmen Sie die Richtung am Punkt

(1,1),

in der sich

f

nicht ändert. Zeichnen Sie diese Richtung in die Skizze aus Teil

(A)

ein. Auch hier muss klar erkennbar oder erklärt sein, wie sie im Raum liegt.

(D . 1)

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Richtungen aus Teil

(C)

und Teil

(D)

?

Lösung:

(B)

Da kann ich vorgehen wie hier: massmatics.de/merkzettel/index.php#!212:-D)ie_Tangentialebene
Tangentialfläche und Tangentialebene sind Synonyme?

Zu der Zeichnung:
Ich wollte Werte einsetzen und daraus entsprechend die Funktion zeichnen. Dabei wollte ich das "Plotten" vorher weglassen und mich "überraschen" lassen. Wobei man weiß, dass

x^{2} + y^{2}

Kreisform hat.

Ich verstehe jedoch nicht die Funktionsvorschrift

f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y)

Meine Definitionsmenge ist

ℝ^{2}

und meine Zielmenge ist

ℝ_{+}

Wenn ich jetzt den Punkt

(1,1)

einzeichnen möchte erhalte ich

\sqrt{2}

. Aber wie bzw. wo wird dieser eingezeichnet? Das verstehe ich nicht:/
Ich meine die Wurzelfunktion ist mir auch bekannt. Aber solche Zeichnungen bringen mich echt zur Verzweiflung...

Vielen lieben Dank im voraus schon mal,

Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:15 Uhr, 12.10.2016

Hallo,
der Graph einer Funktion

ℝ^{2} \to ℝ

liegt im

ℝ^{3}

.
Die Werte Deiner Funktion liegen also auf der

z

-Achse. Damit ist Dein Graph
eine Fläche im 3-dimensionalen Raum, d.h. Deine

\sqrt{2}

ist die Höhe des
Punktes

(1, 1, \sqrt{2})

über der

(x, y)

-Ebene und zwar senkrecht über dem Punkt

(1, 1)

.

Gruß ermanus

Lexiii92 aktiv_icon

14:42 Uhr, 12.10.2016

Hey ermanus danke für deine Antwort,

Aber wie gehe ich dann geschickt bei solch einer Zeichnung vor? Also dass es möglichst schnell geht in der Klausur. Denn eine ganze Kurvendiskussion für eine Zeichnung dafür sind in

1,5

Std nicht zu schaffen. Wie gehe ich da am Besten vor wenn ich nicht so wirklich weiß wie der Graph verläuft?

Und das Vorgehen zur Berechnung der Tangentialfläche ist auch korrekt?
Herzlichen Dank!
Grüße Lexi

ermanus aktiv_icon

14:53 Uhr, 12.10.2016

Am besten ist es bei einer solchen Funktion wahrscheinlich,
dass man zu jedem Wert auf der

z

-Achse die Menge der

(x, y)

betrachtet, für die

f (x, y) = z

ist. Das sind die Höhenlinien Deiner
Fläche. Wenn Du das in Deinem Beispiel machst, bekommst Du zu
jedem

z \geq 0

eine Kreisgleichung

z^{2} = x^{2} + y^{2}

,
wo nun

z

offenbar die Rolle des Radius spielt. Wenn ich also
meine Fläche mit einer Ebene parallel zur

(x, y)

-Ebene in der Höhe

z

schneide, bekomme ich einen Kreis. Der Radius dieser Schnittkreise ist
immer

z

, wächst also linear mit wachsendem

z

, d.h. Deine
Fläche ist ein nach oben offener Kegel mit Spitze im Ursprung.
Mach Dir mal eine Skizze von diesen Verhältnissen.

Lexiii92 aktiv_icon

23:59 Uhr, 13.10.2016

'Am besten ist es bei einer solchen Funktion wahrscheinlich,
dass man zu jedem Wert auf der z-Achse die Menge der

(x, y)

betrachtet, für die

f (x, y) = z

ist.'

\to

Du meinst die Funktion an der Stelle

x, y

ist

z

. Das kann man ja mit einigen Werten machen aber ob man daraus etwas erkennt?

'Das sind die Höhenlinien Deiner Fläche.'

\to

Ja Höhenlinien, also der höchste Punkt wenn ich

x, y

als Boden (Ebene) wähle.

Also du meinst, dass ich mir die Funktion umforme zu einer bekannten Funktion, bzw. einem bekannten Graphen wie

z^{2} = x^{2} + y^{2}

.

Ja

z

ist der Radius dann in dem Fall.

'Wenn ich also meine Fläche mit einer Ebene parallel zur (x,y)-Ebene in der Höhe

z

schneide, bekomme ich einen Kreis.'

\to

Welche Fläche?

'Nun ja wenn ich aus einer Ebene eDer Radius dieser Schnittkreise ist
immer

z,

wächst also linear mit wachsendem

z, d . h

. Deine
Fläche ist ein nach oben offener Kegel mit Spitze im Ursprung.
Mach Dir mal eine Skizze von diesen Verhältnissen.'

Ich denke ich weiß was du meinst, jedoch erkenne ich sowas anhand der Gleichung der Funktion nie.

Ich habe eine Grundfläche in der

x

,y-Ebene. Einen Kreis. Und diese Punkte in der Ebene geben mir ein zugehöriges

z

. Soweit verstehe ich das ja. Wie erkenne ich jetzt aber wie das

z

sich verhält? Es ist quadratisch. Ich hätte also so einen immer breiter nach oben werdenden Topf?

Danke!

Lexi

ledum aktiv_icon

01:15 Uhr, 14.10.2016

Hallo
noch mal:

z = f (x, y)

ist eine Fläche im

ℝ^{3}

über jedem punkt der

x . y

ebene ist die höhe bekannt vielleicht schreibst du statt

z

mal

h

h = 0 x^{2} + y^{2} = 0

also nur der Punkt

(0,0)

Höhe

1 : 1^{2} = x^{2} + y^{2}

Höhe

2 : 2^{2} = x^{2} + y^{2}

usw
wenn du noch Zweifel hast hilft es mit

z . B

mit der Ebene

x = 0

zu schneiden dann hast du die Gerade

z = x,

Also hast du insgesamt einen Kegel.
ein paar Kreise in den Höhen

1,2,3,4

zu skizzieren und die geraden Begrenzungslinien sollte einfach sein.
Gruß ledum

Lexiii92 aktiv_icon

09:23 Uhr, 14.10.2016

Guten Morgen

also ich forme die Funktion

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

um zu:

z^{2} = x^{2} + y^{2}

x^{2} + y^{2}

hat Kreisform.

z^{2}

ist sogesehen eine Parabel.

Nun Zweifel/Probleme habe ich irgendwie noch.

'Wenn du noch Zweifel hast hilft es mit

z . B

mit der Ebene

x = 0

zu schneiden dann hast du die Gerade

z = x,

Also hast du insgesamt einen Kegel.'

\to

wenn ich

f (0, y)

einsetze bekomme ich doch

z^{2} = y^{2} \Rightarrow z = y

?
Und wie zeichne ich das ein?

'Ein paar Kreise in den Höhen

1,2,3,4

zu skizzieren und die geraden Begrenzungslinien sollte einfach sein.'

\to

klingt einfach, also bei

z = 1

habe ich einen Kreis mit Radius 1.
Bei

z = 2

habe ich einen Kreis mit Radius 4.
Bei

z = 3

habe ich einen Kres mit Radius 9?

Oder?

Grüße und danke,

Lexi

abakus

09:52 Uhr, 14.10.2016

"Bei z=2 habe ich einen Kreis mit Radius 4."
Nein. Wurzel aus 4.

"Bei z=3 habe ich einen Kres mit Radius 9?"
Nein. Wurzel aus 9.

ermanus aktiv_icon

11:42 Uhr, 14.10.2016

Du hast Recht mit

f (0, y) = y^{2}

. Daraus folgt aber

z = ∣ y ∣

und nicht

z = y

Lexiii92 aktiv_icon

08:34 Uhr, 19.10.2016

"Du hast Recht mit

f (0, y) = y 2

. Daraus folgt aber z=∣y∣ und nicht z=y."
Ja genau. Das muss man betragsmäßig berücksichtigen.

"Bei

z = 2

habe ich einen Kreis mit Radius 4."
Nein. Wurzel aus 4.

"Bei

z = 3

habe ich einen Kres mit Radius 9?"
Nein. Wurzel aus 9.

Ja. weil ich dann noch die Wurzel daraus ziehen muss. Aber da müsste ich auch plus/minus wieder berücksichtigen?

Bei der Zeichnung jedoch habe ich Probleme, wenn jetzt

x - y

die Grundebene ist also x-nach rechts und

y - \in

nach hinten und

z

nach oben zeigt im Koordinatensystem.

Ich habe den Punkt

z = 1

also Kreis mit Radius 1.

z = 2

also Kreis mit Radius

\sqrt{4}

usw.

Wie soll ich den Kreis zeichnen? Ich meine

z = 1

ist die Höhe und welche Werte habe ich dann für

x

bzw. y? Stets den Wert 1? Aber wie soll das perspektivisch gesehen, eingehalten werden bzw. bestmöglich gezeichnet werden? Ich habe das

3 D

KOS und weiß nicht wie ich das machen soll.

Danke nochmal allen,

Lexi

ledum aktiv_icon

15:18 Uhr, 19.10.2016

Hast du wirklich noch nie einen Kegel skizziert?
kreise werden perspektivisch zu Ellipsen
Gruß ledum

Lexiii92 aktiv_icon

18:10 Uhr, 19.10.2016

Naja gezeichnet selber noch nicht. Aber dann kann ich mir ja jegliche Form von konkreter Punktberechnung sparen, da man das eh nicht genau zeichnen kann? Oder wie soll ich einen Kreis mit Radius

1, \sqrt{4}

oder

\sqrt{9}

perspektivisch zeichnen. Da bekomme ich Fieber^^

zu)

C)

Nun

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

\nabla f = (\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{matrix})

\nabla f (1,1) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

Das ist doch die Richtung im Punkt

(1,1),

in der sich

f

am stärksten ändert?

Aber was ist jetzt gemeint mit geben Sie den Wert einer Größe an, die diese Änderung quantitativ beschreibt?

- Die Richtung ist doch senkrecht auf der Mantelfläche?

"C.2) Zeichnen Sie die Richtung (Skizze) in Teil

(A)

ein. Es muss ganz klar erkennbar oder in Worten erklärt sein, wie diese Richtung im Raum liegt!"

Ich würde jetzt einen Pfeil an der Stelle ungefähr machen der senkrecht im Punkt

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

ist. Stimmt das?

Dankeschön ledum und dem Rest,

Lexi

ledum aktiv_icon

22:34 Uhr, 19.10.2016

Hallo die beiden Geraden, die die Kontu

r

des Kegls geben sind Winkelhalbierende, haben also Steigung 1 bzw

- 1

die Richtungen der maximalen Änderung sind die Geraden auf dem Kegel, die Tangenten an die Kreise (Ellipsen), die ohne momentane Änderung,
das kann man alles in meiner Skizze gut einzeichnen.
gesagt wurde ja auch, dass es nicht massstäblich sein muss.
Gruß ledum

Lexiii92 aktiv_icon

11:32 Uhr, 09.11.2016

Hallo,

ich grübele noch ein wenig an der Aufgabe.

"Hallo die beiden Geraden, die die Kontur des Kegls geben sind Winkelhalbierende, haben also Steigung 1 bzw −1 die Richtungen der maximalen Änderung sind die Geraden auf dem Kegel, die Tangenten an die Kreise (Ellipsen), die ohne momentane Änderung"

Also die Geraden sind die Tangenten mit der maximalen Änderung? Und die Kreise sind die senkrechten auf den Geraden, die keine Änderung aufweisen, habe ich das jetzt richtig verstanden? Dort wo keine Änderung ist ist ja senkrecht auf dem Gradienten?

C 1 :

Welche anschauliche Bedeutung...?

\to

was könnte man da jetzt schreiben?

Danke und Grüße

Lexi

PS: Ich habe jetzt mein Bild hinzugefügt und stimmt ihr mir meiner Zeichnung zu? Vor allem der Aufgabe

C 2 :

"Zeichnen Sie die Richtung (Skizze) in Teil

(A)

ein. Es muss ganz klar erkennbar oder in Worten erklärt sein, wie diese Richtung im Raum liegt!"

Im Punkt

(1,1)

habe ich versucht die maximale Änderung einzuzeichnen (schwarz) und keine Änderung blau?

ermanus aktiv_icon

11:23 Uhr, 10.11.2016

Hallo,
habe hier meinen Skizzenversuch angehängt.
Wenn Du die x-Achse auf den Betrachter zu orientierst und die y-achse von links
nach rects laufen lässt, wird die Sache einfacher. Für die z-Achse
habe ich einnen anderen Maßstab gewählt - das ist einem ja anheim gestellt.
Gruß ermanus

Lexiii92 aktiv_icon

10:23 Uhr, 11.11.2016

Hey Ermanus,

ich bin noch die Berechnung der Tangentialfläche den Usern schuldig.

\nabla f = (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})

\nabla f (1,1) = (\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

Somit ist meine Tangentialebene mit der Formel

z = z_{0} + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) :

E : \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (y - 1)

Wenn ich mich nicht verrechnet habe?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(C)

Bestimmen Sie die Richtung am Punkt

(1,1),

in der sich

f

am stärksten ändert und geben Sie den Wert einer Größe an, die diese Änderung quantitativ beschreibt.

- Was genau ist da noch gemeint mit geben Sie den Wert einer Größe an, die diese Änderung quantitativ beschreibt gemeint?

(C . 1)

Welche anschauliche Bedeutung hat diese Größe?

- Welche anschauliche Bedeutung hat diese Größe? Bei so Fragen fehlen mir immer die Worte.

(C . 2)

Zeichnen Sie die Richtung (Skizze) in Teil

(A)

ein. Es muss ganz klar erkennbar oder in Worten erklärt sein, wie diese Richtung im Raum liegt!

- Danke Ermanus, so hätte ich es wohl nicht geschafft.

(D)

Bestimmen Sie die Richtung am Punkt

(1,1),

in der sich

f

nicht ändert.

- Das sind doch jetzt die schwarzen Pfeile die senkrecht auf dem Kreis mit Radius

\sqrt{2},

außen stehen? Und die maximale Änderung sind die Tangenten an dem Kreis außen quasi von der Seite angeklebt?

Riesengroßen und herzlichen Dank!

Lexi

ledum aktiv_icon

12:03 Uhr, 11.11.2016

Hallo
was du da als Ebene hinschreibst ist keine Ebene.
Ebene wird beschrieben durch ) Aufpunkt

+

s*Richtungsvektor

1 +

t*Richtungsvektor2
oder durch

\vec{n} \cdot \vec{x} = d

da alle Tangentialebenen durch 0 gehen

d = 0

2. auf dem Kreis ist

z = f (x, y) = \sqrt{2}

konstant, ändert sich also nicht! das ist der Pfeil tangential an den Kreis , die Richtung nach oben, entlang dem Kegel ist die der stärksten Ändern. anschaulich der steilste Weg, wen ich mir den Kegel als Berg vorstelle. keine Änderung ich laufe ohne Steigung auf einem ebenen Weg,
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

12:03 Uhr, 11.11.2016

Hallo
was du da als Ebene hinschreibst ist keine Ebene.
Ebene wird beschrieben durch ) Aufpunkt

+

s*Richtungsvektor

1 +

t*Richtungsvektor2
oder durch

\vec{n} \cdot \vec{x} = d

da alle Tangentialebenen durch 0 gehen

d = 0

2. auf dem Kreis ist

z = f (x, y) = \sqrt{2}

Lexiii92 aktiv_icon

12:10 Uhr, 13.11.2016

Hallo,

wieso ist das keine Ebene? Ich habe doch die Formel angewendet aus dem von mir angegebenen Link.

" Aufpunkt

+ s \cdot

Richtungsvektor

1 + t \cdot

Richtungsvektor 2

Also gilt diese Formel:

E_{P a r a m e t e r} : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ f_{x} (x_{0}, y_{0}) \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) \end{matrix})

Wo jetzt meine Ebene im Punkt

z_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

sein soll?

Sprich:

E_{P a r a m e t e r} : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ (\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ (\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{matrix})

Ich hoffe so stimmt das? Wie würde man jetzt rein aus Neugier

\vec{n} \cdot \vec{x} = d

berechnen?

Es sind noch die Fragen offen, wenn ich nichts übersehen/überlesen habe:

(C)

Bestimmen Sie die Richtung am Punkt

(1,1),

in der sich

f

am stärksten ändert und geben Sie den Wert einer Größe an, die diese Änderung quantitativ beschreibt.

- Nun die Richtung ist am Punkt

(1,1)

entsprechend

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

und was ist jetzt gemeint mit geben Sie den Wert einer Größe an die diese Änderung quantitativ beschreibt?

(C . 1)

Welche anschauliche Bedeutung hat diese Größe?

- Nun welche anschauliche Bedeutung hat diese Größe?

(D . 1)

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Richtungen aus Teil

(C)

und Teil

(D)

?

- Ich würde jetzt sagen, die Richtungen stehen senkrecht zueinander und ihr Skalarprodukt ist null? Oder was könnte man noch dazuschreiben?

Ich danke vielmals!

Lexi

ledum aktiv_icon

18:57 Uhr, 13.11.2016

Hallo
zur Tangentialebene:
a)du gibst sie als Graph der Funktion t(x,y==deine Darstellung für

E

im post davor.

b)

als

\vec{x} \cdot \vec{n}

wenn du in obiger Darstellung in

0 = - z + z 0 + f_{x} (x - 1) + f_{y} \cdot (y - 1)

\vec{n} = {(x, y, - z)}^{T}

(1),1, - \sqrt{2})^{T}

deine Darstellung in Parameterform stimmt nicht,

z . B

liegen die 2 Vektoren, die du ja eingezeichnet hast nicht darin. und der Aufbukt auch nicht!
Dass du die Richtung maximaler Änderung auf dem Graphen von

f (x, y)

zeichnen sollst verstehe ich nicht wirklich , denn das Def. Gebiet ist ja die

x - y

Ebene, dort biet ja dein Vektor

(f_{x}, f_{y})

senkrecht zu den Höhenlinien f=const, tangential an die Höhenlinien also in Richtung

(- y, x)

die Richtung in der sich

f

nicht ändert. dein im

ℝ^{3}

eingezeichneter Vektor muss auch noch eine

z -

Komponente haben, der tangential an den Kreis hat natürlich die

z -

Komponente 0.
sicherheitshalber würde ich deshalb auch das Höhenlinienbild und darin die Vektoren senkrecht und tangential daran zeichnen
als quantitativ würde ich den Betrag des Grad angeben, der sagt, wie stark sich

f

ändert, bzw wie "steil" der Kegel ist, bin aber nicht sicher wie dein Prof. es meint.
zu

D

finde ich, dass du das richtige sagst
Gruß ledum

Lexiii92 aktiv_icon

00:40 Uhr, 14.11.2016

Hallo,

"a) du gibst sie als Graph der Funktion t(x,y==deine Darstellung für

E

im post davor."

- Ja aber was ist jetzt daran falsch? Ich erkenne nicht den Fehler. Im Skript habe ich:

Tangentialfläche:

T (\vec{x}) = f (\vec{x_{0}}) + f_{x} (\vec{x_{0}}) (x - x_{0}) + f_{y} (\vec{x_{0}}) (y - y_{0})

Das stimmt doch ? ? ?

Die Formel ist doch fest, ich habe sie korrekt angewendet und wieso ist die Tangentialfläche falsch? Tangentialfläche=Tangentialebene?

Lexi

ledum aktiv_icon

01:10 Uhr, 14.11.2016

Hallo
Hallo ja das stimmt, hatte ich auch im letzten post bestätigt.
du hast

E,

geschrieben und nicht eine Funktion

T (x, y)

das hatte mich irritiert,

T (x, y)

ist wieder eine Fkt von

ℝ^{2} \to ℝ

die Ebene ist der Graph der Funktion.
und wenn du das so meintest war es richtig, nur dass

T (x, y) =

fehlte.
ob ihr die Ebenen als Graph einer Fkt

ℝ^{2} \to ℝ

angeben sollt oder als Ebenen im

ℝ^{3}

wie ich dachte musst du wissen, falsch ist es nicht!

Lexiii92 aktiv_icon

01:35 Uhr, 14.11.2016

Hallo,

na gut dann wäre das geklärt.

Die einzigen Fragen die mir noch Sorgen machen sind:

C 1

. Wie würdest du jetzt konkret kurz und knapp antworten bzw. die anderen?

Lexi

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