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Tangentialflächen der Funktion parallel zu Ebene

Universität / Fachhochschule

Tags: tangentialebene tangentialflächen

Thundernoodle aktiv_icon

18:11 Uhr, 11.09.2015

Hallo,
Ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter.
Diese lautet:
"An welchen Stellen verlaufen die Tangentialflächen der Funktion

f

parallel zur Ebene E?"

f (x, y) = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x \cdot y^{2}}{2} + x + y

E = 7 x - 4 y

Ich bin bisher wie folgt vorgegangen:

Partielle Ableitungen gebildet und mit den Werten der Ebene gleichgesetzt:

f_{x} (x, y) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + 1 = 14

f_{y} (x, y) = x \cdot y + 1 = - 4

Wenn ich jetzt versuche die Werte für

x_{0}

und

y_{0}

herauszufinden, hängt es irgendwie bei mir. In allen Beispielrechnungen die ich davon bisher gefunden habe, verschwindet die zweite Variabel bei der Ableitung. Ich habe versucht

f_{y} (x, y)

nach

y

aufzulösen und in

f_{x} (x, y)

einzusetzen, aber komme damit auch nicht weiter.
Bin ich generell überhaupt richtig vorgegangen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

18:31 Uhr, 11.09.2015

.
" E=7x−4y "

wau ..

\to

wie heisst die Gleichung der Ebene

E

wirklich ?

.

Bummerang

18:33 Uhr, 11.09.2015

Hallo,

1.

f_{x} (x, y) = . .

= 7

und nicht

14!

2. Aus

x \cdot y + 1 = - 4

folgt

y^{2} = \frac{25}{x^{2}}

und das setzt man in die andere Gleichung ein. Scheinlösungen durch Probe eliminieren und so alle

x

ermitteln anschließend für jedes gwfundene

x

das zugehörige

y = - \frac{5}{x}

ermitteln! Fertig!

PS @rundblick

Da es hier um Parallelität zu dieser Ebene geht, sind die hier gegebenen Informationen ausreichend!

Roman-22

19:02 Uhr, 11.09.2015

"
PS @rundblick

Da es hier um Parallelität zu dieser Ebene geht, sind die hier gegebenen Informationen ausreichend!
"

Er meint halt, dass man den Namen der Ebene nicht mit dem Funktionsterm gleichsetzen sollte.
Man kann ja auch sonst noch einiges bemängeln. So hat eine Funktion eigentlich keine "Tangentialflächen", sondern bestenfalls der Graph der Funktion. Und dann ist eine Tangentialfläche nicht notwendigerweise eine Ebene, sondern es könnte sich da also auch um eine Schmiegquadrik oder irgend eine andere berührende Fläche handeln.
Es ist hier leicht, Rabulistik zu betreiben, nur wird das Thundernoodle nicht sonderlich viel helfen.

Thundernoodle aktiv_icon

19:12 Uhr, 12.09.2015

Hallo Bumerang,
danke für deine Antwort.
Ich war bereits so vorgegangen

f_{y} (x, y)

nach

y

aufzulösen und dann in

f_{x} (x, y)

einzusetzen, aber ich komme dabei auf kein Ergebnis, welches ich vernünftig nach

x

auflösen kann(siehe Anhang). Ich habe das ganze auch mal in einen Onlinerechner geschmissen und der konnte es auch nicht ausrechnen. Anscheinend ist noch grundsätlich etwas falsch in meiner Vorgehensweise.

Roman-22

21:58 Uhr, 12.09.2015

Nein, du bist schon auf dem richtigen Weg.
Wenn du nun noch beidseits mit

2 x^{2}

multiplizierst und alles auf einer Seite versammelst, erhältst du eine sog. biquadratische Gleichung. Also eine quadratische Gleichung für

x^{2} : 3 x^{4} - 12 x^{2} + 25 = 0

Etwas ausführlicher könntest du nun

u = x^{2}

substituieren und hast damit eine quadratische Gleichung in

u

. Die vier Lösungen für die x-Werte erhältst du nach der Lösung dieser quadratischen Gleichung

(\to u_{1,2})

mittels

x = \pm \sqrt{u}

.

Doch sind mit deiner Angabe alle Lösungen nichtreell.
Kann es sein, dass du bei deiner Angabe etwas verdreht und falsch angegeben hast?
Ist die Gleichung der Ebene tatsächlich

ε : g (x, y) = 7 x - 4 y

(oder

ε : z = 7 x - 4 y

E = . .

. sollte man wirklich nicht schreiben)?
Mit

17 x

oder

14 x

anstelle von

7 x

wären wir schon im Geschäft.
EDIT: Ich bin mir jetzt ziemlich sicher, dass die Tangentialebene die Gleichung

z = 7 x + 4 y

haben sollte. Es stellen sich damit vier wunderschöne Lösungen ein

\to (\pm 1 | \pm 3 | \pm 9)

und

(\pm \sqrt{3} | \pm \sqrt{3} | \pm 5 \cdot \sqrt{3})

. Das sind nun die Flächenpunkte, in denen die Tangentialebene zur gegebenen Ebene parallel ist. Wenn nur die Stellen gesucht sind, dann lässt du die z-Koordinate eben einfach weg.

R

Vielleicht interessiert dich auch das:
http://www.math.tugraz.at/~spruessel/Lehre/SS2013/Tutorium/loes8.pdf
für ein paar Zusatzaufgaben. Der dort gewählte Ansatz mit den parallelen Normalvektoren erscheint ein wenig aufwändiger, führt aber im Prinzip auf die gleiche Rechnung.

rundblick aktiv_icon

13:00 Uhr, 13.09.2015

.
"EDIT: Ich bin mir jetzt ziemlich sicher,
dass die Tangentialebene die Gleichung

z = 7 x + 4 y

haben sollte."

ja , Roman-22, das ist eine schöne Möglichkeit und eine gute Idee

UND: Vielleicht kapieren jetzt so nach und nach der schlaue Bummerang
und die Fragestellerin meinen ersten Beitrag (siehe

\to 18 : 31

Uhr,

11.09.2015)

und kommen nicht mehr mit dem Quatsch

\to

"Da es hier um Parallelität zu dieser Ebene geht, sind die hier gegebenen Informationen ausreichend!"

" E=7x−4y "

\to

ist NICHT die Gleichung einer Ebene

E

deshalb nochmal die Frage an Thundernoodle:

\to

welche Gleichung ist

d i r

gegeben für die Ebene

E

?
..die, die Roman-22 vorschlägt ist ja nur

e i n

sinnvolles Beispiel

.. also:

\to . .

.
.

Thundernoodle aktiv_icon

19:40 Uhr, 16.09.2015

Die Aufgabe ist mir so gegeben, wie ich sie oben hingeschrieben haben(siehe Anhang).
Ich habe die Vermutung, dass die Aufgabenstellung tatsächlich fehlerhaft sein könnte, da unser neuer Matheprofessor gerade seinen ersten Durchlauf hat.

Roman-22

19:47 Uhr, 16.09.2015

Wie schon gesagt ist in der Angabe mit großer Wahrscheinlichkeit der besagte Vorzeichenfehler und die Art, wie die Ebenen"gleichung" gegeben ist, ist Unfug.

rundblick aktiv_icon

19:57 Uhr, 16.09.2015

.
"
..seinen ersten Durchlauf hat."

sei gnädig mit ihm - aber bringe ihm schonend bei, dass die Aufgaben
mit Vorteil korrekt gestellt sein sollten...

er wird dir dankbar für den Tipp sein, dass man zB die Gleichung einer Ebene

E

bestimmt nicht so aufschreibt

\to E = 7 x - 4 y . .

.

Ein Durchlauf-Mann lernt ja nie aus

. .

.
.

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